八上培优18期末复习几何压轴题.pdf

八上培优18期末复习几何压轴题

考点和方法截长补短构造全等

1．已知：在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．
（1）如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线．
①求证：∠AFC=120°；
②若AD=6，CE=4，求AC的长？
（2）如图2，若∠FAC=∠FCA=30°，求证：AD=CE．

考点和方法一线三等角,三垂直模型

2．（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为
点D、E．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=
∠BAC，求证：DE=BD+CE
（3）拓展与应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠
BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：△DEF
为等边三角形

考点和方法构造等腰直角三角形构造破罗摩及多模型

3．已知△ABC中，∠ACB=90°，

（1）如图1，点B与点D关于直线AC对称，连AD，点E、F分别是线段CD、AB上的点（点E不与点D、C重合），
且∠AEF=∠ABC，∠ABC=2∠CAE．求证：BF=DE．
（2）如图2：若AC=BC，BD⊥AD，连DC，求证：∠ADC=45°
（3）如图3，若AC=BC，点D在AB的延长线上，以DC为斜边作等腰直角△DCE，过直角顶点E作EF⊥AC于F，
求证：点F是AC的中点．

考点和方法等边三角形一线三等角模型(勤学早有)
4．已知，点D、E分别是等边△ABC的边BC、AB上的点，∠ADE=60°．
（1）如图1，当点D是BC的中点时，求证：AE=3BE；
（2）如图2，点M在AC上，满足∠ADM=60°，求证：BE=CM；
（3）如图3，作CF∥AB交ED的延长线于点F，探究三条线段BE、CF、CD之间的数量关系，并给出证明．

考点和方法等腰三角形直角三角形全等三角形探究动点特殊角
5．已知△ABC中，AC=BC，
（1）如图1，分别过A、B做AM⊥BC，BN⊥AC，垂足分别为点M、N，AM与BN相交于点P，求证：AP=BP；
（2）如图2，分别在AC的右侧、BC的左侧做等边△ACE和等边△BCD，AE与BD相交于点F，连接CF并延长交
AB于点G，求证：点G是AB的中点；
（3）在（2）的条件中，当∠ACB的大小发生变化时，设直线CD与直线AE相交于H点，当∠ACB等于度
时，使得AH=CD．

考点旋转变换等腰三角形中角的计算,等腰三角形与全等三角形结合
6．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

考点最小值问题垂线段最短动点定直线问题

7．在边长为4的等边△ABC中．

（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=18°，求∠AQB的度数；
（2）点P、Q在BC边上的两个动点（不与点B、C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的
对称点为M，连接AM、PM，依题意将图2补全，并求证：PA=PM．
（3）在（2）中，当AM的值最小时，直接写出CM的长．

半角模型问题
8．四边形ABCD是由等边△ABC和顶角为120°的等腰△ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点
旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N．交直线AB于E、F两点，
（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），求证：BM+AN=MN；
（2）当E、F分别在边BA的延长线上时如图2，求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系；
（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长．

面积法应用问题,最小值问题
9．如图1，△ABC是边长为8cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以acm/s的速度运动，
点E从C点出发沿C→B方向在线段CB上以bcm/s的速度运动，D，E两点同时出发，运动时间为ts，当点D
到达点A后，D，E两点停止运动．
（1）如图2，若a=b=1，连接AE，CD，相交于点F，连BF
①