复数的代数形式及运算.doc

第三节复数的代数形式及运算
【目录】
题型1复数代数形式的运算
题型2复数代数形式的综合应用
三、解答题
题型1复数代数形式的运算
1．计算：（1）；（2）。
解：（1）原式=。
（其中ω=）。
（2）原式==i+i4×249+2=i+i2=-1+i.
2．设f(x,y)=x2y-3xy+y2-x+8，求：
（1）f(1+i,2-i)的值；（2）[f(2-i,2-i)]-1的值。
解：（1）f(1+i,2-i)=(1+i)2·(2-i)-3(1+i)(2-i)+(2-i)2-(1+i)+8
=2i(2-i)-3(3+i)+(3-4i)-1-i+8=2+4i-9-3i+3-4i+7-i=3-4i；
（2）若x=y，则f(x,y)=x3-2x2-x+8，又x=2-i，∴(x-2)2=(-i)2，即x2-4x+9=0，
而x3-2x2-x+8=(x2-4x+9)(x+2)-2x-10,∴f(2-i,2-i)=0-2(2-i)-10=-14+2i,
∴[f(2-i,2-i)]-1=.
（3）∵(1-)10=1-C·+C·()2-C·()3+…，∴(1-)10的展开式中奇数项之和为复数(1-)10的实数。又(1-)10=[-2·=210ω10=210ω=210=-29+29，∴(1-)10的展开式中各奇数项的和为-29。
3．求同时满足下列两个条件的所有复数z：
（1）是实数，且1<≤6；（2）z的实部和虚部都是整数
解：设t=，则t∈R，且z2-t·z+10=0，由1<≤6得1<t≤6,∴△=t2-40<0，则z就是方程z2-t·z+10=0的两个虚根，即z=，由题意都是整数，得t=2或6，所以当t=2时，z=1±3i，当t=6时，z=3±i
解法二：设z=x+yi(x,y∈Z)，由，
则∈R，得=0，解得y=0或x2+y2=10，当y=0时，，由基本不等式可知：≥2或≤2-，于已知1<≤6矛盾，故y≠0。当x2+y2=10时，=2x，由1<≤6，得<x≤3，又因为x,y∈Z，所以，或，所以，z=1±3i或z=3±i

题型2复数代数形式的综合应用
1．设等比数列z1,z2,z3,…,zn……其中z1=1,z2=a+bi，z3=b+ai(a,b∈R且a>0).
（1）求a,b的值；
（2）试求使z1+z2+…+zn=0的最小自然数n；
（3）对（2）中的自然数n，求z1·z2·…·zn的值。
解：（1）∵z1,z2,z3成等比数列，∴z=z1z3，即(a+bi)2=b+ai，a2-b2+2abi=b+ai,
∴(a>0)，解得a=,b=。
（2）∵z1=1,z2=，∴公比q=。于是zn=()n-1。
z1+z2+…+zn=1+q+q2+…+qn-1==0，∴qn=()n=(-i)n()n=1，即n即是3的倍数又是4的倍数。故n的最小值为12。
（3）z1z2…z12=1·()·()2…()11
=()1+2+…+11=.
2．求(1-)10的展开式中的所有奇数项的和。
解：(1-)10的展开式中的所有奇数项的和
S=；
而偶数项之和为，因此所有奇数项的和，即为(1-)10的实部，(1-)10=[-2×()]10=(-2)10()10=210()=-29+，∴(1-)10的展开式中所有奇数项之和为-512.
3．计算：．
解：原式=

4．求复数7-24i的平方根．
解：设复数7-24i的平方根为x+yi(x、y∈R)，则(x+yi)2=7-24i，即x2-y2+2xyi=7-24i.
∴∴复数7-24i的平方根为4-3i或-4+3i.
解法二：（配方法）∵7-24i=(16-9)-2×4×3i=(4-3i)2.∴7-24i的平方根为±(4-3i)，即为-4+3i或4-3i.
5．已知z=1+i，且=1-i(a、b∈R)，求a、b的值．
解：将已知等式变形为z2+az+b=(1-I)(z2-z+1).∵(z2-z+1)(1-i)=[(1+i)2-(1+i)+1](1-i)
=i(1-i)=1+i,又z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(a+2)i,由两个复数相等的充要条件得：
a=-1,b=2.
6．计算.
解：∵
∴原式=(-1)12=1·(-2i)6=-64.
7．已知复数z=,ω=z+ai(a∈R),当时，求z的取值范围．
解：z==，∴|z|=,又，∴|ω|≤2．
而ω=z+ai=(1-i)+ai=1+(a-1)i(a∈R)，则(a-1)2≤3．∴-≤a-1≤,
1-≤a≤1+.故a的取值范围是[1-,1+]．
8．设复数z1,z2满足z1·z2+2i(z1-z2)+1=0,-z1=2i，求z1,z2．
解：∵-z1=2i,=z1+2i，∴z2=-