大数定理与中心极限定理.doc

新乡医学院理论课教案
基本内容备注大数定理与中心极限定理
一、大数定理
概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列极限定理称为大数定理。
定理1（bernoulli定理）
设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意正数ε，总有

注:定理说明,当n很大时,事件A发生的频率与概率有较大的差别的可能性很小,因而在实际中便可以用频率来代替概率。
定理2
设随机变量相互独立且具有相同的数学期望和方差:

作n个随机变量的算术平均数对于任意正数ε，总有

注:定理说明,当n充分大时，算术平均数必然接近于数学期望。
二、中心极限定理
在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量之和的分布以正态分布为极限这一类定理称为中心极限定理。
定理3如果随机变量独立同分布，且则

注:无论各个随机变量具有怎样的分布，只要满足定理新乡医学院理论课教案
基本内容备注条件，那么它们的和当n很大时，近似服从正态分布。
例1一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50kg，标准重为5kg.若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。
解设为装运第i箱的重量，n是所求的箱数。由题意可把看作独立同分布的随机变量，令则就是这n箱货物的总重量。
又

由中心极限定理，有

从而，有
故最多可以装98箱。
定理4设随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则对于任意x，恒有

证可将X看作是n个独立同服从（0-1）分布的随机变量之和，即，

所以由定理3得新乡医学院理论课教案
基本内容备注注当n充分大时，二项分布近似于正态分布。
计算应先进行连续性校正。离散型变量取值为k的概率与连续型变量在以k为中心、长为一个单位的区间内的概率相对应，即

当n充分大时，Poisson分布也近似于正态分布。
其连续性校正公式为

例2某病的患病率为0.005，现对10000人进行检查，试求查出患病人数在[45,55]内的概率.
解设患病人数为X,则X~B(10000,0.005).由定理4得

例3某公司生产的电子元件合格率为99.5%。装箱出售时，（1）若每箱中装1000只，问不合格品在2到6只之间的概率是多少？（2）若要以99%的概率保证每箱合格品数不少于1000只，问每箱至少应该多装几只这种电子元件？
解：（1）这个公司生产的电子元件不合格率为1-0.995=0.005，设X表示“1000新乡医学院理论课教案
基本内容备注只电子元件中不合格的只数”，则X~B(1000,0.005)。

（2）设每箱中应多装k只元件，则不合格品数X~B(1000+k,0.005)，由题设，应有，因而可得

于是k应满足
解之，有
这就是说，每箱应多装11只电子元件，才能以99%以上的概率保证合格品数不低于1000只。
本次课小结：
介绍了大数定律和中心极限定理。要求理解伯努利定理；理解独立同分布的中心极限定理和二项分布、Poisson分布的也正态近似的有关计算。
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