GCT线性代数与微积分辅导材料.doc

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GCT线性代数辅导
第一讲行列式
一.行列式的定义
一阶行列式定义为
二阶行列式定义为
在阶行列式中，划去元素所在的第行第列，剩余元素构成阶行列式，称为元素的余子式，记作．
令，称为的代数余子式．
阶行列式定义为
．
二.行列式的性质
1.行列式中行列互换，其值不变．

2.行列式中两行对换，其值变号．
–
3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外．

4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和．

由以上四条性质，还能推出下面几条性质
5.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为０．
6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为０．
7.行列式中如果有一行元素全为０，则行列式的值为０．
8.行列式中某行元素的倍加到另一行，其值不变．

三.阶行列式展开性质

等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即

按列展开定理

阶行列式的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即

按列展开的性质

四.特殊行列式
;
上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.
五.计算行列式
消零降阶法.
消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）..

典型习题
1.=（）。（）
2.设的代数余子式，则=（）（-2）
3．中的系数是（）（2）
4．=（）（）
5．设，则=（）（1）
6．（）（）
7．，则（），（0）
8．，则（）()(或)
9.设则(8M)

10.的根的个数是（）（1）
11.解方程()
12.设是方程的三个根,则行列式的值为()(0)
第二讲矩阵

一.矩阵概念和运算
1.矩阵的定义和相等.
2.加法,数乘,乘法,转置,方阵的幂乘的定义及性质.
尤其是矩阵乘法不满足交换律和消去律.满足结合律,左(右)乘分配律等.
若是阶方阵,则
特殊方阵
3.逆矩阵
定义：
可逆
公式：
可逆矩阵的运算性质
4.伴随矩阵
定义：
基本关系式：
与逆矩阵的关系：
行列式：
秩：

5．矩阵方程
设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为

设是阶方阵，是矩阵，若可逆，则矩阵方程有解，其解为

二.初等变换
矩阵的初等行（列）变换：
交换两行（列）；
用一个非零常数乘某一行（列）；
某行（列）的倍加到另一行（列）上．
(初等行变换)
三.矩阵的秩
1.定义
在矩阵中，任取行列，位于这行列交叉处的个元素按其原来的次序组成一个阶行列式，称为矩阵的一个阶子式．
若矩阵中有一个阶子式不为零，而所有阶子式全为零，则称矩阵的秩为。矩阵的秩记作．
显然有
中有一个阶子式不为零；
中所有阶子式全为零．
对于阶方阵，
对于阶方阵，若，则称是满秩方阵．
重要定理
对矩阵施行初等变换不改变矩阵的秩．
矩阵的秩的求法
阶梯形矩阵
满足以下条件的矩阵称为阶梯形：
所有零行都在矩阵的底部；
非零行的第一个元素称为主元，每个主元在前一行主元的右方；
(初等变换)阶梯形,则中主元的个数
4.矩阵的秩有以下一些常用的性质：
（１）．.
（２）．
（３）
（4）若，则，其中为矩阵的列数．
（5）若可逆，则．若可逆，则．

典型习题
１．都是阶阵,则下列结论不正确的是()
A.B.
C.D.(A)2.，且，求，．(-108,32/3)
3．,则()
4.设则中第3行第2列的元素是
A.B.C.1D.(B)
5.，则（）()
6.都是阶阵,.则下列结论正确的是()
A.B.或C.D.(B)
7.设都是阶阵,满足.则
A.B.C.D.(A)
８．设.则下列结论不正确的是()
A．可逆.B..不可逆.C.可逆D.可逆(B)
9.设，则()

10．.设,则
(A)1或2(A)1或3(A)2或3(A)3或4(A)
11．，则（）。(1)
12．设，（）时。(-3)
13．设则（）。(1)
14.设则
A.B.C.D.(D)
15.设,三阶矩阵,且满足,则
A.B.
C.D.(A)

第三讲向量
一.向量组线性相关与线性无关

1.向量组的线性组合与线性表示
设是维向量，是数，则
称为向量的一个线性组合．
若,称可由线性表出．
线性相关与线性无关
定义设是维向量，若存在不全为零的数，使得
，则称线性相关．否则称线性无关．
定理若线性无关，而线性相关,则可由
线性表出,，且表示法惟一．
判断
设是维向量