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GCT考前辅导-线性代数.pdf

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中国GCT联盟www.gct.edu.cn电话：010-62701055/82378805地址：清华同方科技广场B座609室 第一章行列式 一、知识结构网络图 ⎧概念不同行不同列元素乘积的代数和（共n!项） ⎪ ⎪⎧经转置行列式的值不变 ⎪ ⎪某行有公因数kk,可把提到行列式外 ⎪⎪ ⎪性质⎨某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和 ⎪⎪两行互换行列式变号 ⎪⎪ ⎪⎩⎪某行的k倍加至另一行，行列式的值不变 ⎪ ⎧n ⎪AaAi=(按行展开) ⎪⎪∑ijij ⎪j=1 ⎪展开式⎨代数余子式 ⎪n ⎪AaAj=(按行展开) ⎪⎪∑ijij ⎪⎩i=1 ⎪⎧⎧三角化法 ⎪⎪⎪ ⎪⎪数字型⎨公式法 ⎪⎪⎪ 行⎪⎩递推法 ⎪计算⎨ 列⎨⎪⎪⎧用行列式性质 ⎪ 式⎪⎪抽象型用矩阵性质 ⎪⎪⎨ ⎪⎪用特征值A=∏λ ⎩⎪⎩i ⎪ ⎪⎧Ax=0有非零解 ⎪⎪反证法 ⎪ ⎪ ⎪证A=0⎨rA()<n ⎪ ⎪0是的特征值A ⎪⎪ ⎪⎪AA=− ⎪⎩ ⎪⎧Ax=0有非零解 ⎪ ⎪伴随矩阵求逆法 ⎪⎪ ⎪⎪线性相关（无关）判定 ⎪应用⎨ ⎪⎪可逆的证明 ⎪⎪克莱姆法则 ⎪⎪ ⎩⎪⎩⎪特征值计算 点评：（）二、三阶行列式1 ab =−adbc cd aaa123 b1b2b3=++−−−abc123abc231abc312abc321abc213abc132 ccc123 这样的计算方法对44阶及阶以上行列式不适用. (2)对行列式的性质3要理解正确,例如 ababab11+++2233aa12a3bbb123 cc123123cccc=+ccc123 dd12312dddd3123ddd 对于nAaBbABab阶矩阵==()ij,,()ij有+=+(ijij),由于 行列式AB+中每一行都是两个数的和,所以若用性质 3,2把行列式AB++拆开则AB应当是n个n阶行列式 之和,.不要错误的认为AB+=A+B 1 中国GCT联盟www.gct.edu.cn电话：010-62701055/82378805地址：清华同方科技广场B座609室 二重要定理 定理1.1n阶行列式 aa1112La1n aaLa D=21222n MMM aann12Lann 等于它的任意一行的所有元素与它们各自对应的代数余子式的乘积之和，即 DaAaA=+k11kk2k2++=LLaAkknkn()()1,2,,n.1.3 公式()1.3称为行列式按第k行的展开公式. 定理1.2nD阶行列式等于它的任意一列的所有元素与它们各自对应的代 数余子式的乘积之和，即 DaAaA==11kk＋＋＋2k2kLLaAnknk()()k1,2,,n.1.4 公式()1.4称为行列式按第k列的展开公式. 定理1.3设n阶行列式 aa1112La1n aaLa D=21222n MMM aann12Lann 元素aAij的代数余子式为ij,当i≠=k()i,kn1,2,L,时，有 aAik11+++=aAi2k2LaAinkn0()1.5 当时jkjk≠=(),1,2,L,n，有 aA11jk+++=aA2j2kLaAnjnk0()1.6 ⎣⎦⎡⎤注在n阶行列式 aa1112La1n aaLa D=21222n MMM aann12Lann 中划去元素aijij所在的第行、第列，由剩下的元素按原来的排法，构 成一个n-1阶的行列式 aaaa11LL1jj−+1111n MMMM aaaaii−−1,1LL1,ji−−11,ji+−11,n aaaii++1,1L1,j−1ij++1,1Lain+1, MMMM aaaann1,LLjn−+1,j1nn ij＋ 称其为aMMij的余子式，记为ij.1而称()－ij为aij的代数余子式，记为Aij, 即 ij＋ AMij=()－1ij()1.2 2 中国GCT联盟www.gct.edu.cn电话：010-62701055/82378805地址：清华同方科技广场B座609室 三主要公式 ()1上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积 aa1112La1na11 aaaaL 222n==2122aaLa,()1.7 OMMMOM1122nn aaannn12nLann ()2关于副对角线的行列式 aa1112La1,nn-1a100La1n aaLa00Laa 21222,n-1=2,nn-12 MMMMMMM an1000Laaann1,Lnn-1n nn()−1 2 =()-1aa12,-1nnLanl.()1.8 ()3两个特殊的拉普拉斯展开式 aaccaa11LL1nm11111LL1n00 MMMMMMMM aaccaaLLLL00 nn11nnnmnn=1n