数学史融入数学教学以极限的概念单元为例.doc

附錄6
數學史融入數學教學──以極限的概念單元為例
前言
一部微積分教材，在高中數學中，至少經過兩次以上的改革。由舊教材中，微積分的內容講述不少的東西；由極限、微分、積分、曲的圍面積，旋轉體體積，三角函數、指對數函數的微分、積分，數值方法；可說已經將大一上學期的微積分講完了，也說明了數學系的專門數值方法。如今新教材大綱，微積分部分只講到極限的概念，及極限的應用；其中精神相通；但是內容份量少了許多。我們皆知道：微積分，一言以蔽之“極限”也。因此，新教材大綱在微積分上的調整，筆者覺得是件明智之舉，也大幅減少高三學生的學習份量，真是一件令人欣慰之事。
學生常會問：「極限是什麼？與１是否相等？還是差一點點？如果有差，所差之那點是什麼？」對極限概念，也常迷糊不清。為了解決學生的迷失點，筆者想利用數學史的觀點切入極限概念的教學之中，使學生大概了解古人對極限的理解，以及古人對極限的研究過程，進而提供自我理解的機會。
筆者引進學習工作單，給學生作一些問題討論以及卷分析。在不同的班級中實施教學活動。進而分析數學史引進教學中，學生的學習情形及學生的反應如何？做為數學史對數學教育的影響，提出一些例證。
最後，我們將進一步說明數學史融入數學教學中的心得以及一些困難的克服；並且建議應有的數學教學態度。使數學史的文化關懷引動學生的動機，並期學生能產生更深厚趣，這有數學教學者的一致期盼。也希望由數學史的引進，能增廣學生視野，培養多元的習能力與思考能力，進而對人文素養進一步的涵養。
二、教學指引
（一）、三維度的結合說明：
（Ａ）、數學邏輯結構方面：
筆者將極限的概念，以直觀的想法，先介紹其直觀的幾何意義；先將數數列的極限由幾何觀點表現其極限的意義；進而引進其代數方面的意義。接著同樣用代數及幾何的觀點來探討函數的極限。並且在極限進中，再引入微分中展現其主導地位。進而介紹曲線所圍成的面積；由規則面積的求法，到曲線所圍之不規則面積的求法。規則面積只用分割、接合便可能決；然不規則面積除了利用分割、手妾合之外，還須要用到極限的概念，這當中已經介紹積分的內容精神了。當中可微分函數，連續函數的引導也是必要的概念。經過如此邏輯上的推導之後，再進一步以例題、習題作練習，並期對學生學習極限有更深入的理解。
（Ｂ）、數學教育方面：
極限的引進先由日常生活中的經驗或實驗的結果進而猜測、證明、演繹而得概念。日常中對海邊的沙灘有多少粒沙？一台斤的米有多少米粒？一把泥土有多少沙？一顆樹上有多少樹葉？這些例子中，我們皆可感覺很多很多，但是，到底有多少？有限還是無限？
數學教育重在了解學生目前的「基模」，再根據其「基模」進一步引進新的概念。在高一數學教材中，已經大略講極限，尤其是數列的極限，還有無窮等比級數等觀念。可見其基模至多到直觀極限（大部學生而言），故我們先提出新問題，希望引導學生對極限的理論架構更深入一些並且藉了解學生在此教材中的基模。在此筆者提出一些新題給學生，以引起學生的認知不足或認知衝突，並期擴展學生野。
問１：沙灘上的沙是有限多個？還是無限多個？為什麼？
問２：自然數與有理是否一樣多個？為什麼？
問３：與１真的相等嗎？為什麼？
問４：圓的面積如何求得公式？
問５：兩條抛物線圍起來的面積如何求呢？
由這些問題可以引動學生的思考，並且數學教育的重要精神乃是要將數學生活化、抽象化、進而一般化，並且亦一囡從中探究出數學教學以及數學習者的心智活動情形。因此，筆者提出一些問題，由生活化入手，一直到一般化的問題處理，介紹給學生，並期能對極限的精神發揮到極至。
（Ｃ）、數學史方面：
筆者將學數史切入“極限的概念”，主要的用意有以下的目的，而且這是數學邏輯、數學教育兩方面無法取代的重要觀點。
（１）了解古人對“無限多”的概念，及其思考過程。
（２）了解古代中西方對極限概念的思考方式，並分析其異同之處。
（３）擴展學生對數學文化的視野，以及對人文面向的關懷。
為了達到上述三個目的，筆者引用金剛經之「恆河沙數」，林林中之「樹葉」以及齊諾（Zeno）詭辯，先探討“無限多”的概念；進而引進歐多克索斯（Eudoxus）的圓周率推導概念及劉徽的割圓術。利用古人對圓周率、割圓術的探討之中，引進極限的概念後，才完成弓如此重要的結論。利用古人的做法，進而說明極限的意義，使學生了悟古人很早就蘊育這科重要的數學思想；並且領悟對數學的抽象化過程與歷史有著密不可分的關係。
綜合（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）三方面的理解，我們將極限的概念的理論課程設計架構，以圖表分析如下：

極限概念

理論架構

數學教育方面的領域
數學史方面的領域
邏輯思考方面的領域

數學概念發展

學生數學學習

數學講義
學習工作單
教材講解

教程活動設計