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汽车刹车距离
背景与问题
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。
又云，实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：
后车司机从前车经过某一标志开始默数，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。
试判断“2秒规则”与上述规则是一样的吗？这个规则的合理性如何？是否有更好的规则？建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。
问题分析
1两秒规则的合理性
根据常识我们知道，10英里/小时(16公里/小时)车速下2秒钟行驶的距离为29英尺(9米)，此距离远远大于车身的平均长度15英尺(4.6米)。这说明了“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同。“2秒规则”和“车身规则”不同也就意味着司机处在两个选择中，而两个选择的对错也未知，这就给驾驶员带来了疑惑。所以两个规则的合理性有待验证。
2数学模型的分析
此模型问题的要求是建立刹车距离与车速之间的数量关系。一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长；另一方面，还有其它很多因素会影响刹车距离，包括车型、车重、刹车系统的机械状况、轮胎类型和状况、路面类型和状况、天气状况、驾驶员的操作技术和身体状况等。为了建立刹车距离与车速之间的函数关系可以从以下分析入手：

经过仔细分析刹车的过程可以发现，刹车要经历两个阶段：
第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车踏板使刹车系统开始起作用，汽车在反应时间段行驶的距离为“反应距离”；
第二阶段，从刹车踏板被踩下、刹车系统开始起作用，到汽车完全停住，汽车在制动过程“行驶”（轮胎滑动摩擦地面），此距离为“制动距离”。
进而可得出：刹车距离=反应距离+制动距离
下面对各阶段具体分析：
反应距离阶段：
根据常识，可以假设汽车在反应时间内车速没有改变，也就是说在此瞬间汽车做匀速直线运动，反应时间取决于驾驶员状况（包括反应、警觉性、视力等）和汽车制动系统的灵敏性,而正常情况下，汽车制动系统的灵敏性都非常好，与驾驶员状况相比，可以忽略。可以假设反应距离的数学模型为d1=t1v。
制动距离阶段：
在制动过程，汽车的轮胎产生滚动摩擦，车速从v迅速减慢，直到车速变为0，汽车完全停止。用物理的语言来陈述，那就是：汽车制动力使汽车做减速运动，汽车制动力做功导致汽车动能的损失。Fd2=Mv2/2；进而得出刹车的距离公式d2=+kv2。
换言之，需要测试汽车在不同车速下的刹车距离（当然要尽量保持道路、天气、驾驶员、载重等条件一样），然后利用测试数据拟合出模型d=t1v+kv²中的系数k值，那么就能所得到刹车距离与车速之间的二次函数经验公式。此数学模型对于所有在相同的道路、天气和驾驶员等条件下，既没有超载，也没有故障的汽车都是有参考作用的。
假设与建模
1模型的假设
表2-1符号说明
符号单位名称说明m/s车速刹车过程的速度变化值m刹车距离从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶距离d1m反应距离从司机决定刹车到踩下踏板汽车行驶距离d2m制动距离从司机踩下刹车踏板到车完全停住汽车行驶距离t1s反应时间从司机决定刹车到踩下刹车踏板的时间FN制动力汽车制动过程的制动力Mkg汽车质量汽车的净重ks²/m比例系数k=1/(2a)（1）、假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障；
（2）、假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；
（3）、假设汽车在反应阶段做匀速直线运动；
（4）、假设汽车在制动过程做匀减速直线运动，加速度a只与车型有关，同车型时为常数，制动力所做的功只等于汽车动能的损失；
（5）、假设刹车距离等于反应距离加上制动距离。
2模型的建立与求解
2.1模型的建立
由前面的分析和假设可知：
刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和，
即d=d1+d2（公式2-1）；
反应距离d1与车速v成正比d1=t1v（公式2-2）（式中的t1为反应时间）;
刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;Fd2=Mv2/2
（公式2-3）
(式中的F∝M,即F与车的质量M成正比)。
因此由（公式2-3）推出下面距离的关系式：
,
再根据（公式2-1）和（公式2-2）可以得到d=t1v+kv2（公式2-4）
因此模型可以定为：d=t1v+kv2
2.2模型的求解
参数估计：反应时间t1的经验估计值为0.75秒，利用交通部门提供的一组实际数据拟合k。
表2-2交通部门车速和刹车距离数据
车速
(英里/小时)(英尺/秒) 实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间
（秒）
2029.342（44）39.0 1.53044.073.5（78）76.6 1.84058.7 116（124