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第一章离散时间信号与系统
1.讨论一个输入为x(n)和输出为y(n)的任意线性系统。证明如果对于所有n,x(n)=0,则对于所有n,y(n)必然为零.
证证法1设y(n)=T[x(n)],因为对于所有n,x(n)=0,所以
x(n)=x(n)-x(n)=0
由于线性系统满足叠加原理,因此
y(n)=T[x(n)]=T[x(n)-x(n)]=T[x(n)]-T[x(n)]=0
证法2设y(n)=T[x(n)],对于所有n,x(n)=0,并设,因为线性系统满足叠加原理,所以
因此

2．对于图p1.2中的每一组序列,试用离散卷积法求线性非移变系统[单位取样响应为h(n)]对于输入x(n)的响应

解计算可按下式进行:

y(0)=1*2=2,y(1)=1,y(n)=0,
y(1)=1*2=2,y(2)=1,y(n)=0
y(0)=-12=-2
y(1)=22+(-1)(-1)=5,
y(2)=12+2(-1)=0,
y(3)=-11=-1,
y(n)=0;n0,1,2,3,
(a)、(b)和(c)中求得的序列y(n)如图p1.2-1(a)、(b)、(c)所示.

3．讨论一个单位取样响应为h(n)的时域离散线性非移变系统.如果输入x(n)是周期为N的周期序列,即x(N)=x(n+N),证明输出y(n)亦是周期N的周期序列
证按照卷积的定义,可以得到下面两式:

因为x(n)是周期为N的周期序列,所以
x(n-k+N)=x(n-k)
比较上面两式,便可以得到
y(n)=y(n+N)
既y(n)也是周期N的周期序列.
4．一个时域离散系统如图p1.15所示,系统变换y(n)=T[x(n)]是任意的,它还可以是非线性的和时变的,只知道系统是有定义的,即对于任意给定的输入,系统的输出是唯一的,假设选择输入为,并测量输出的某个参数p(例如,最大幅度),一般来说,p将是w的函数.
我们研究一下不同的激励频率下p的性态,证明p是w的周期函数,试求其周期.类似的结果在时域连续情况下是否成立?

解假设输入为,它是周期为2的w的周期序列,对于的系统输出为p(w),如果输入,对应的系统输出为,由于系统对于给定的输入,其输出是唯一的.因此输出p(w)及.即,故其周期为2.
在时域连续情况下,我们假设输入为,如果输出是周期的,则仅是t的周期函数,而不是w的周期函数,为了证明输出不是w的周期函数,可令
,
则

因此,除非对于一定的t值,而对于一般情况来说,其输出
所以在时域连续情况下,和时域离散系统类似的结果并不成立.
5．令表示一个线性非移变时域连续滤波器的冲击响应,表示线性非移变时域离散滤波器的单位取样响应.
(a)如果

试确定模拟滤波器的频率响应,并画出其幅度特性的示意图.
(b)如果与(a)中相同,试确定数字滤波器的频率响应,并画出其幅度特性的示意图.
(c)对于一个给定的a值.确定数字滤波器频率响应的最小幅度,并表示为T的函数.
解(a)已知

因此滤波器的频率响应为

可画其幅度特性如图p1.30(a)所示
(b)根据已知条件可以写出

因此

可画出其幅度特性如图p1.30(b)所示
(b)对于一个给定的a值,数字滤波器频率响应的最小幅度发生在处,最小幅度为

6．对于下列每一个系统判别它是否为:(1)稳定系统;(2)因果系统;(3)线性系统.
T[x(n)]=g(n)x(n).

解(a)(1)若则,所以当有界时,则该系统为稳定系统.
(2)若及,当n<时,则,因为该系统是因果系统
(3)由于

该系统满足叠加原理,所以是线性系统
(b)(1)若,则,,
,所以该系统不是稳定系统
(2)当时,取决于x(n)的将来值,所以该系统不是因果系统,
(3)由于

所以该系统是线性系统
(c)(1)若,所以,该系统为稳定系统
(2)因为T[x(n)]取决于x(n)的将来值,所以该系统不是因果系统
(3)由于

所以该系统是线性系统
(d)(1)若,则,所以该系统是稳定系统
(2)因为,不决定于x(n)的将来值.所以当时该系统时因果系统,<0时,是非因果系统(3)由于

所以该系统是线性系统