第六节 泰勒公式与泰勒级数.doc

§7.6泰勒公式与泰勒级数
教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor级数与
Taylor展式的关系.
重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的推导方法.
难点:理解泰勒公式的推导方法.
教学方法：启发式讲授与指导练习相结合
教学过程：
O、近似表达函数的多项式的特性
无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数
引例：当很小时，，设，，则

若将在更为接近.猜想将则在处两函数有直到n阶相同的导数，其在处接近的程度更高，即.为用多项式表示更复杂的函数：设有函数在的某一邻域内有直到阶的导数，令，再令
,,
若,.
（表示的函数值相等）则
（），于是.
证明：因,
,……,
……,,
那么,所以,
.
一、泰勒（）公式
在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式
（当很小时，）
从几何上看，这是在点附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在
函数改变量的表达式中
略去了一个关于（）的高阶无穷小量（时）.但公式
在实际计算中的精度不高，其误差为
，可以求出
.
如果需要精度更高些，可将（）的高阶无穷小分离成两部分
（时）.
保留与同阶的无穷小量，略去的高阶无穷小量，
此时有，
以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用次多项式近
似表示，当很小时，将多项式写成以（）
的方幂展开的形式
，其中
是待定系数.我们知道具有任意阶的连续导数，将
的多项式两边求一阶到阶导数，并令可得

于是可以写成

若函数在的某一邻域内一阶到阶的导数都存在，可以做出一个次多项式

不一定等于，但它可以近似表示，它的近似程度可以由误差来确定.
设，如果能确定的值，则就确定了.
【定理7.14】（泰勒公式）设在含有的区间内
有直到阶的连续导数,则，可以按（）
的方幂展开为

.
此式称为按的幂展开阶泰勒公式.其中
称为拉格朗日型余项,介于与
之间.
证明：因为在含有的区间内有直到阶的连续导数,所以对于，可将写成

为求出的值，引进辅助函数

显然，在区间上连续（设），
在区间内可导，由罗尔中值定理可知，至少存在一点
，使得，因为

化简整理得
所以，而
由，于是
，介于与之间.
在公式中当时，公式可化为麦克劳林公式

其中
或令，则
另证：不妨设.令,,由条件知：(连续次使用柯西中值定理可以证明)
,,
显然,.那么

,
其中，所以
,介于与之间.
例1求的阶麦克劳林公式.
解因,,，那么

,.
例2求的阶麦克劳林公式.
解因,.
有,,，那么

,(或都可以)
其中：,.
特别地：时，,；
时，,；
时，,.
例3按的乘幂展开多项式.
解

,
所以.
二、泰勒级数

1.通过前面的学习我们知道，级数在其收敛域内一定有和函数.由泰勒公式的学习知道，我们可以用多项式近似表示函数.现在我们想知道函数是否一定可以展开为幂级数，需不需要附加条件？
2.问题：已知函数有
.
问：(1)对于一般的函数是否也有？
(2)如果能展开,项的系数如何确定?

(3)展开式是否唯一?
(4)在什么条件下函数才能展开成幂级数?

3.【定理】（TaylorTh）:设在内具有任意阶导数,则在内.
其中为的拉格朗日型余项
.
证明由于
.
所以等式两边取极限
,.
4．函数在点有泰勒展式在有任意阶导数且.
注意：1）函数在一点处可以展开为Taylor级数时，其展式是唯一
的.因为泰勒系数（）是唯一的.
2）为在点的Taylor级
数，等式在时成立，称为函数的Taylor展式.
5．泰勒级数与麦克劳林级数
设在点具有任意阶导数，则称
(1)为在点的泰勒级数,
记作.
(2)称为的麦克劳林级数,
记作.
注意问题:在点具有任意阶导数，那么
级数在收敛区间内是否收敛于
？
例:在点任意可导,且
,

于是,
显然,.
结论：当级数收敛于时，即
时有泰勒展式.
小结：1.函数在点的泰勒公式为

,介于与之间
公式成立的条件是:在点的邻域内有直到阶的导数.
2.函数在点的泰勒展式为，其系数为泰勒系数.当时，的上述展式为麦克劳林展式.注意：函数在一点的泰勒展式唯一.
泰勒定理成立的条件是:在点邻域内的各阶导数存在且
.
3．在近似计算中先要写出函数的级数表示式，再取n的特殊值即可得
到所要近似值.
课后记：存在问题：不能区分泰勒公式与泰勒级数.