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自变量选择与逐步回归
一、全模型和选模型
设研究某一实际问题，涉及对因变量有影响的因素共有m个，由因变量y和m个自变量构成的回归模型称为全模型。
如果从可供选择的m个变量中选出p个，由选出的p个自变量组成的回归模型称为选模型。
二、自变量选择对预测的影响
自变量选择对预测的影响可以分为两种情况考虑，第一种情况是全模型正确而误用了选模型；第二种情况是选模型正确而无用了全模型。以下是这两种情况对回归的影响。
1、全模型正确而误用选模型的情况
性质1，在与的相关系数不全为0时，选模型回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，即（）
性质2，选模型的预测是有偏的。
性质3，选模型的参数估计有较小的方差。
性质4，选模型的预测残差有较小的方差。
性质5，选模型的均方误差比全模型预测的方差更小。
性质1和性质2表明，当全模型正确时，而舍去了m-p个自变量，用剩下的p个自变量去建立选模型，参数估计值是全模型相应参数的有偏估计，用其做预测，预测值也是有偏的。这是误用选模型产生的弊端。
性质3和性质4表明，用选模型去作预测，残差的方差比用全模型去作预测的方差小，尽管用选模型所作的预测是有偏的，但得到的预测残差的方差下降了，这说明尽管全模型正确，误用选模型是有弊也有利的。
性质5说明，即使全模型正确，但如果其中有一些自变量对因变量影响很小或回归系数方差过大，丢掉这些变量之后，用选模型去预测，可以提高预测的精度。由此可见，如果模型中包含了一些不必要的自变量，模型的预测精度就会下降。
2、选模型正确而误用全模型的情况
全模型的预测值是有偏估计；选模型的预测方差小于全模型的预测方差；全模型的预测误差将更大。
一个好的回归模型，并不是考虑的自变量越多越好。在建立回归模型时，选择自变量的基本知道思想是少而精。丢掉了一些对因变量y有影响的自变量后，所付出的代价是估计量产生了有偏性。然而，尽管估计是有偏的，但预测偏差的方差会下降。另外，如果保留下来的自变量有些对因变量无关紧要，那么，方程中包括这些变量会导致参数估计和预测的有偏性和精度降低。因此，在建立实际问题的回归模型时，应尽可能剔除那些可有可无的自变量。
三、所有子集回归
1、所有子集的数目
设在一个实际问题的回归建模中，有m个可供选择的变量，由于每个自变量都有入选和不入选两种情况，这样y关于这些自变量的所有可能的回归方程就有-1个，这里-1是要求回归模型中至少包含一个自变量，即减去模型中只包含常数项的这一种情况。如果把回归模型中只包含常数项的这一种情况也算在内，那么所有可能的回归方程就有个。
从另一个角度看，选模型包含的自变量数目p有从0到m共有m+1种不同的情况，而对选模型中恰包含p个自变量的情况，从全部m个自变量中选p个的方法共有线性组合个，因而所有选模型的数目为：。
2、关于自变量选择的几个准则
把选模型的残差平方和记为，当再增加一个新的自变量时，相应的残差平方和记为。根据最小二乘估计的原理，增加自变量时残差平方和将减少，减少自变量时残差平方和将增加。因此有,它们的负决定系数分别为：,，由于SST是因变量的离差平方和，与自变量无关，因而有，即当自变量子集在扩大时，残差平方和随之减少，而复决定系数随之增大。因此，如果按残差平方和越小越好的原则来选择自变量子集，或者为提高复决定系数，不论什么变量只要多取就行，则毫无疑问选的变量越多越好。这样由于变量的多重共线性，给变量的回归系数估计值带来不稳定性，加上变量的测量误差积累，参数数目的增加，将使估计值的误差增大。因此，从数据与模型拟合优劣的直观考虑出发，认为残差平方和SSE最小的回归方程就是最好的，还曾用负相关系数R来衡量回归拟合好坏都不能作为选择变量的准则。
准则一：自由度调整复决定系数达到最大。
当给模型增加自变量时，复决定系数也随之逐步增大，然而复决定系数的增大代价是残差自由度的减少，因为残差自由度等于样本个数与自变量个数之差。自由度小意味着估计和预测可靠性低。设为自由度调整后的复决定系数，其中，n为样本容量，p为自变量的个数。在实际问题的回归建模中，自由度调整复决定系数越大，所对应的回归方程越好。则所有回归子集中最大者对应的回归方程就是最优方程。
从另外一个角度考虑回归的拟合效果，回归误差项的无偏估计为：
,此无偏估计式中也加入了惩罚因子n-p-1，实际上就是用自由度n-p-1作平均的平均残差平方和。当自变量个数从0开始增加时，SSE逐渐减小，作为除数的惩罚因子n-p-1也随之减小。当自变量个数从0开始增加时，先是开始下降然后稳定下来，当自变量个数增加到一定数量后，又开始增加。这是因为刚开始时，随着自变量个数增加，SSE能够快速减小，虽然作为除数的惩罚因子n-p-1也随之减小，但由于SSE减小的速度更快，因而是趋于减小的。当自变量数目增加到一