连续系统的复频域分析.ppt

第4章连续系统的复频域分析本章要求频域分析法的优点：(1)频域分析法虽然避免了微分方程的求解和卷积积分的计算，但是必须增加两次积分变换，即在输入端进行一次傅里叶正变换，在输出端进行一次傅里叶反变换，而这两次积分变换的求解往往不是很容易。
(2)傅里叶变换的运用一般要受绝对可积条件的约束，而许多信号往往是不符合绝对可积条件的，这时，从极限的观点可以求解上述信号中的一些，如单位阶跃信号ε(t)，所以其傅里叶变换仍然存在。而另一些信号，如单边指数信号eatε(t)(a>0)则不存在傅里叶变换。
(3)频域分析法只能求解系统的零状态响应。(1)对系统的微分方程进行变换时，可以自动引入初始条件，求系统的全响应。
(2)对信号的适应性比傅里叶变换强。拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827），
法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者。
拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周
期性变化，这就是著名拉普拉斯的定理。
拉普拉斯的著名杰作《天体力学》，集各家之大成，书中第一次提出了“天体力学”的学科名称，是经典天体力学的代表著作。
《宇宙系统论》是拉普拉斯另一部名垂千古的杰作。在这部书中，他独立于康德，提出了第一个科学的太阳系起源理论——星云说。康德的星云说是从哲学角度提出的，而拉普拉斯则从数学、力学角度充实了星云说，因此，人们常常把他们两人的星云说称为“康德-拉普拉斯星云说”。
拉普拉斯在数学和物理学方面也有重要贡献，以他的名字命名的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。4.1拉普拉斯变换设有信号f(t)e-σt(σ为实数)，并且能选择适当的σ使f(t)e-σt绝对可积，则该信号的傅里叶变换存在。若用F(σ+jω)表示该信号的傅里叶变换，根据傅里叶变换的定义，则有上式两边乘以eσt，得4.1.2双边拉普拉斯变换的收敛域ROC
theRegionofConvergence例4.1-1求时限信号f1(t)=ε(t)-ε(t-τ)的双边拉氏变换及其收敛域。式中，τ＞0。例4.1-2求因果信号f2(t)=e-αtε(t)(α＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。例4.1-3求反因果信号f3(t)=-e-βtε(-t)(β＞0)的双边拉氏变换及其收敛域。图4.1-1双边拉氏变换的收敛域
(a)F2(s)的收敛域；(b)F3(s)的收敛域；(c)F4(s)的收敛域双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂，并且信号与其双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。实际中的信号都是有起始时刻的(t＜t0时f(t)=0)，若起始时刻t0=0,则f(t)为因果信号。
因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为“0”，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉斯变换。4.1.3单边拉普拉斯变换
Single-sidedLaplaceTransform拉普拉斯变换的物理意义与双边拉普拉斯变换存在的条件类似，若f(t)满足4.1.4常用信号的单边拉普拉斯变换4.2单边拉普拉斯变换的性质2.时移性3.复频移例4.2-3f1(t)=cos(ω0t)ε(t),f2(t)=sin(ω0t)ε(t)，求f1(t)和f2(t)的象函数。例4.2-44.尺度变换例4.2-5已知5.时域卷积证根据信号卷积的定义，并且f1(t)和f2(t)是因果信号，则例4.2-6已知图4.2-1(a)所示信号f(t)与图(b)所示信号fτ(t)的关系为f(t)=fτ(t)*fτ(t)，求f(t)的单边拉氏变换。6.时域微分证先证明式(4.2-9)和式(4.2-10)。根据单边拉普拉斯变换的定义，则有反复应用式(4.2-9)，就可得到f(n)(t)的单边拉普拉斯变换如式(4.2-11)所示。f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域至少是Re［s］＞σ0。
若F(s)在s=0处有一阶极点，则sF(s)中的这种极点被消去，f(1)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域可能扩大。f(n)(t)的单边拉普拉斯变换的收敛域也有类似情况。
若f(t)为因果信号，则f(n)(0-)=0(n=1,2,…),此时，时域微分性质表示为例4.2-7
求f1(t)和f2(t)的单边拉氏变换。(2)求f2(t)的单边拉氏变换。由于7.时域积分证明式(4.2-12)：因为证明式(4.2-13):因为若f(t)是因果信号，f(n)(t)是f(t)的n次导数，则f(t)等于f(n)(t)从0-到t的n重积分。若f(n)(t)的单边拉普拉斯变换用Fn(s)表示，根据时域积分性质式(4.2-12)，则f(t)的单边拉氏变换为非因果信号f(t)的单边拉普拉斯变换也可根据式(4.2-13)求解。若f(t)在t=-∞的值f(-∞)