一题多解专题：向量在平面几何中的应用.doc

一题多解专题五：向量在平面几何中的应用
解三角形与向量知识综合问题的方法：
(1)解三角形的问题中含有向量时，通常需要把边长与向量的模相联系，三角形的内角与向量夹角相联系，注意向量夹角与三角形内角的相等关系或互补关系.
(2)应用余弦定理求出未知的边长和角，从而易于求出向量的有关问题.
例：若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，则
＝__________.
思路点拨：一种方法是建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可;另一种方法是将用表示,然后用数量积的定义计算.
图(1)
方法一:以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴建立如图(1)所示的
平面直角坐标系，根据题设条件可知
设，则
由得：

，点M的坐标为，.
方法二：由于

又是边长为的等边三角形，
，
特别提醒:用向量知识解决平面几何问题的两个关注点
(1)若可以建立平面直角坐标系，则建系后用向量的坐标运算较容易解决.
(2)若不易建系，则先选取一组基底，基底中的向量最好可知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再用向量的运算法则、运算律等进行计算.针对性练习：
1.在正三角形ABC中，D是BC边上的点，AB=3，BD=1，则=________.
图（2）
解析:方法一：如图（2）所示，B=60°，
由余弦定理得AD2=32+12-2×3×1×cos60°=7,∴AD=，
再由余弦定理得cos∠BAD=，
所以.
方法二：∵
==9+3×1×.
2.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________.
图（3）
【解析】方法一：如图(3)所示，以AB，AD所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系，设E(t,0)，0≤t≤1，则，C(1，1)，
=(t,-1),=(0,-1),∴=1.
方法二：选取{}作为基向量，设，
则=-t=0+1=1.
3.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
图（2）
证明：方法一：设则
∴=
又且∴a2=b2,a·b=0.
∴=0,∴AF⊥DE.
方法二：以AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，
设AB=2,则A(0,0),E(1,0),D(0,2),F(2,1),∴=(2,1),=(1,-2).
又∵=2×1+1×(-2)=0,∴AF⊥DE.