高一数学竞赛辅导讲义第讲.pdf

宜阳一高数学竞赛辅导讲座1
1.数学方法选讲

同学们在阅读课外读物的时候;或在听老师讲课的时候;书上的例题

或老师讲解的例题他都能听懂;但一遇到没有见过面的问题就不知从何处

入手..看来;要提高解决问题的能力;要能在竞赛中有所作为;首先得提高

分析问题的能力;这就需要学习一些重要的数学思想方法..

例题讲解

一、从简单情况考虑

华罗庚先生曾经指出：善于“退”;足够的“退”;退到最原始而又不

失去重要性的地方;是学好数学的一个诀窍..从简单情况考虑;就是一种

以退为进的一种解题策略..

1.两人坐在一张长方形桌子旁;相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币..

条件是硬币一定要平放在桌子上;后放的硬币不能压在先放的硬币上;直

到桌子上再也放不下一枚硬币为止..谁放入了最后一枚硬币谁获胜..问：

先放的人有没有必定取胜的策略

2．线段AB上有1998个点包括A;B两点;将点A染成红色;点B染成蓝色;

其余各点染成红色或蓝色..这时;图中共有1997条互不重叠的线段..

问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数为什么+

3．1000个学生坐成一圈;依次编号为1;2;3;…;1000..现在进行1;2报数：

1号学生报1后立即离开;2号学生报2并留下;3号学生报1后立即离开;4

号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2;凡报1的学生立即离开;
报2的学生留下;如此进行下去;直到最后还剩下一个人..问：这个学生的

编号是几号

例题解析

1．分析与解：如果桌子大小只能容纳一枚硬币;那么先放的人当然能够取

胜..然后设想桌面变大;注意到长方形有一个对称中心;先放者将第一枚

硬币放在桌子的中心;继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上;这

样进行下去;必然轮到先放者放最后一枚硬币..

2．分析：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色;这

时异色线段只有1条;是一个奇数..然后我们对这种染色方式进行调整：

将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时;异色线段的条数随之有哪些变

化..由于颜色的调整是任意的;因此与条件中染色的任意性就一致了..

解：如果中间的1996个点全部染成红色;这时异色线段仅有1条;是

一个奇数..将任意一个红点染成蓝色时;这个改变颜色的点的左右两侧相

邻的两个点若同色;则异色小线段的条数或者增加2条相邻的两个点同为

红色;或者减少2条相邻的两个点同为蓝色；这个改变颜色的点的左右两

侧相邻的两个点若异色;则异色小线段的条数不变..

综上所述;改变任意个点的颜色;异色线段的条数的改变总是一个偶

数;从而异色线段的条数是一个奇数..

3．解：如果有2n个人;那么报完第1圈后;剩下的是2的倍数号；报完第2

圈后;剩下的是22的倍数号……报完第n圈后;剩下的是2n的倍数号;此时;

只剩下一人;是2n号..
如果有2n＋d1≤d＜2n人;那么当有d人退出圈子后还剩下2n人..因为

下一个该退出去的是2d＋1号;所以此时的第2d＋1号相当于2n人时的第1

号;而2d号相当于2n人时的第2n号;所以最后剩下的是第2d号..

由1000=29＋488知;最后剩下的学生的编号是

488×2=976号..

宜阳一高数学竞赛辅导讲座2

二、从极端情况考虑

从问题的极端情况考虑;对于数值问题来说;就是指取它的最大或最

小值；对于一个动点来说;指的是线段的端点;三角形的顶点等等..极端化

的假设实际上也为题目增加了一个条件;求解也就会变得容易得多..

5．新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门;他知道每把钥

匙只能打开其中的一个门;但不知道哪一把钥匙开哪一个门;现在要打开

所有关闭的20个门;他最多要开多少次

6．有n名n≥3选手参加的一次乒乓球循环赛中;没有一个全胜的..问：

是否能够找到三名选手A;B;C;使得A胜B;B胜C;C胜A

7．nn≥3名乒乓球选手单打比赛若干场后;任意两个选手已赛过的对手恰

好都不完全相同..

试证明;总可以从中去掉一名选手;而使余下的选手中;任意两个选手

已赛过的对手仍然都不完全相同..

例题解析
5.解：从最不利的极端情况考虑：打开第一个房间要20次;打开第二个

房间需要19次……共计最多要开

20＋19＋18＋…＋1=210次..

6.解：从极端情况观察入手;设B是胜的次数最多的一个选手;但因B没

获全胜;故必有选手A胜B..在败给B的选手中;一定有一个胜A的选手C;

否则;A胜的次数就比B多一次了;这与B是胜的次数最多的矛盾..

所以;一定能够找到三名选手A;B;C;使得A胜B;B胜C;C胜A..

7.证明：如果去掉选手H;能使余下的选手