高一数学竞赛辅导讲义--第1-4讲.doc

PAGE\*MERGEFORMAT8宜阳一高数学竞赛辅导讲座（1）1.数学方法选讲同学们在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，要能在竞赛中有所作为，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。例题讲解一、从简单情况考虑华罗庚先生曾经指出：善于“退”，足够的“退”，退到最原始而又不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑，就是一种以退为进的一种解题策略。1.两人坐在一张长方形桌子旁，相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上，后放的硬币不能压在先放的硬币上，直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问：先放的人有没有必定取胜的策略？2．线段AB上有1998个点（包括A，B两点），将点A染成红色，点B染成蓝色，其余各点染成红色或蓝色。这时，图中共有1997条互不重叠的线段。问：两个端点颜色相异的小线段的条数是奇数还是偶数？为什么？+3．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000。现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下……学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。问：这个学生的编号是几号？例题解析1．分析与解：如果桌子大小只能容纳一枚硬币，那么先放的人当然能够取胜。然后设想桌面变大，注意到长方形有一个对称中心，先放者将第一枚硬币放在桌子的中心，继而把硬币放在后放者所放位置的对称位置上，这样进行下去，必然轮到先放者放最后一枚硬币。2．分析：从最简单的情况考虑：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段只有1条，是一个奇数。然后我们对这种染色方式进行调整：将某些红点改成蓝点并注意到颜色调整时，异色线段的条数随之有哪些变化。由于颜色的调整是任意的，因此与条件中染色的任意性就一致了。解：如果中间的1996个点全部染成红色，这时异色线段仅有1条，是一个奇数。将任意一个红点染成蓝色时，这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若同色，则异色小线段的条数或者增加2条（相邻的两个点同为红色），或者减少2条（相邻的两个点同为蓝色）；这个改变颜色的点的左右两侧相邻的两个点若异色，则异色小线段的条数不变。综上所述，改变任意个点的颜色，异色线段的条数的改变总是一个偶数，从而异色线段的条数是一个奇数。3．解：如果有2n个人，那么报完第1圈后，剩下的是2的倍数号；报完第2圈后，剩下的是22的倍数号……报完第n圈后，剩下的是2n的倍数号，此时，只剩下一人，是2n号。如果有（2n＋d）（1≤d＜2n）人，那么当有d人退出圈子后还剩下2n人。因为下一个该退出去的是（2d＋1）号，所以此时的第（2d＋1）号相当于2n人时的第1号，而2d号相当于2n人时的第2n号，所以最后剩下的是第2d号。由1000=29＋488知，最后剩下的学生的编号是488×2=976（号）。宜阳一高数学竞赛辅导讲座（2）二、从极端情况考虑从问题的极端情况考虑，对于数值问题来说，就是指取它的最大或最小值；对于一个动点来说，指的是线段的端点，三角形的顶点等等。极端化的假设实际上也为题目增加了一个条件，求解也就会变得容易得多。5．新上任的宿舍管理员拿着20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能打开其中的一个门，但不知道哪一把钥匙开哪一个门，现在要打开所有关闭的20个门，他最多要开多少次？6．有n名（n≥3）选手参加的一次乒乓球循环赛中，没有一个全胜的。问：是否能够找到三名选手A，B，C，使得A胜B，B胜C，C胜A？7．n（n≥3）名乒乓球选手单打比赛若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同。试证明，总可以从中去掉一名选手，而使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同。例题解析5.解：从最不利的极端情况考虑：打开第一个房间要20次，打开第二个房间需要19次……共计最多要开20＋19＋18＋…＋1=210（次）。6.解：从极端情况观察入手，设B是胜的次数最多的一个选手，但因B没获全胜，故必有选手A胜B。在败给B的选手中，一定有一个胜A的选手C，否则，A胜的次数就比B多一次了，这与B是胜的次数最多的矛盾。所以，一定能够找到三名选手A，B，C，使得A胜B，B胜C，C胜A。7.证明：如果去掉选手H，能使余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同，那么我们称H为可去选手。我们的问题就是要证明存在可去选手。设A是已赛过对手最多的选手。若不存在可去选手，则A不是可去选手，故存在选手B和C，使当去掉A时，与B赛过的选手和与C赛过的选手相同。从而B和