第一课时正弦定理.doc

第一课时正弦定理
一、教材预知：
１．正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即===2R（R为△ABC外接圆半径）
证明方法：
1）．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1
即c=，c=，c=．
A
B
C
D
∴==
2）．斜三角形中
证明一：（等高法）

，同理可得

证明二：（等积法）在任意斜△ABC当中

两边同除以即得：==

证明三：（外接圆法）
如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ
∴，同理=2R，＝2R

证明四：（向量法）
过A作单位向量垂直于
由+=
两边同乘以单位向量得•(+)=•
则•+•=•
∴||•||cos90+||•||cos(90C)=||•||cos(90A)
∴∴=，同理，若过C作垂直于得：=∴==
２．正弦定理的常见变形变形：灵活运用
1），，；
2），，；
3）．
３．解三角形
1）把三角形的三边和它的对角叫做三角形的元素．
2）已知三角形的几个元素（通常是3个）求其他元素的过程叫做解三角形．
４．正弦定理解斜三角形的类型
1）已知两角与一边（AAS），有一解或无解
2）已知两边和其一边对角（ASS），存在多解情形：两解、一解或无解
若A为锐角时：

若A为直角或钝角时:

二、典型例题：
例1已知在．
解：
∴
由得
由得

例2在
解：∵

∴
例3
解：

，

例4在中，根据下列条件指出解的个数．
，，；
，，；
，，．
解:2;1;0
例5中，如果，并且为锐角，试判断三角形形状．
解：由，得．
因为为锐角，所以，．
，将代入得，化简得
，所以为等腰直角三角形．
三、及时突破：
1．已知在．
2．在中，根据下列条件指出解的个数．
(1)，，；
(2)，，；
(3)，，；
(4)，，．
3．在中，若，试判断三角形的形状．
4．在中，若，求代数式在的值．
5．在中，求证：．

四、课后作业：
1．在中，若，则的值为（）A.B.
C.D.
2．在中，若，则的值为（）A.B.
C.或D.或
3．在中，若，则的值为（）
A.B.
C.D.
4．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误的是（）
A.在中，
B.在中，
C.在中，
D.在中，正弦值较大的角所对的边也较大
5．三角形的两边长为3cm、5cm，其夹角的余弦值是方程的根，则此三角形的面积是（）
A.B.
C.D.

6．在中，、、分别是角、、的对边，则
．
7．在中，，则三角形的形状是．
8．在中，，，，解此三角形．

在中，、、分别是角、、的对边，且满足，求的值．

10．在中，已知内角，边．设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．