第一课时 正弦定理.doc

用心爱心专心115号编辑第一课时正弦定理教学目标：掌握正弦定理推导过程会利用正弦定理证明简单三角形问题会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题能利用计算器进行运算；通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：正弦定理证明及应用.教学难点：正弦定理的证明正弦定理在解三角形时应用思路.教学过程：Ⅰ.课题导入在初中我们已经会解直角三角形.就是说已会根据直角三角形中已知的边与角求出未知的边与角而在直角三角形中有如下的边角关系.eq\f(asinA)＝eq\f(bsinB)＝eq\f(csinC)那么在任意三角形中这一关系式是否成立呢?这也是我们这一节课将要研究的问题.Ⅱ.讲授新课对于eq\f(asinA)＝eq\f(bsinB)＝eq\f(csinC)这一关系的证明我们一起来看下面的证法.如图在△ABC中已知BC＝aAC＝bAB＝c作△ABC的外接圆O为圆心连接BO并延长交圆于B′设BB′＝2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到：∠BAB′＝90°∠C＝∠B′∴sinC＝sinB′＝eq\f(c2R)∴eq\f(csinC)＝2R同理可得eq\f(asinA)＝2Req\f(bsinB)＝2R∴eq\f(asinA)＝eq\f(bsinB)＝eq\f(csinC)＝2R这就是说对于任意的三角形上述关系式均成立.因此我们得到下面的定理.正弦定理在一个三角形中各边和它所对的正弦的比相等即eq\f(asinA)＝eq\f(bsinB)＝eq\f(csinC)说明：上述证法采用了初中所学的平面几何知识将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证此证法在巩固平面几何知识的同时易于被学生理解和接受并且消除了学生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这一误解.既拓宽了学生的解题思路又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.接下来我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出定理反映的是三角形的边角关系而在向量知识中哪一处知识点体现边角关系呢?向量的数量积的定义式：a·b＝｜a｜｜b｜cosθ其中θ为两向量的夹角.但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系这两者之间能否转化呢?可以通过三角函数的诱导公式sinθ＝cos(90°－θ)进行转化.这一转化产生了新角90°－θ这就为辅助向量j的添加提供了线索为方便进一步的运算辅助向量选取了单位向量j而j垂直于三角形一边且与一边夹角出现了90°－θ这一形式这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因.在向量方法证明过程中构造向量是基础并由向量的加法原则可得eq\o(AC\s\up6(→))＋eq\o(CB\s\up6(→))＝eq\o(AB\s\up6(→)).而添加垂直于eq\o(AC\s\up6(→))的单位向量j是关键为了产生j与eq\o(AB\s\up6(→))、eq\o(AC\s\up6(→))、eq\o(CB\s\up6(→))的数量积而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算也就在情理之中了.下面大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点.说明：(1)在给予学生适当自学时间后应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提以及两向量垂直的充要条件的运用.(2)要求学生在巩固向量知识的同时进一步体会向量知识的工具性作用.向量法证明过程：(1)△ABC为锐角三角形过点A作单位向量j垂直于eq\o(AC\s\up6(→))则j与eq\o(AB\s\up6(→))的夹角为90°－Aj与eq\o(CB\s\up6(→))的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得：eq\o(AC\s\up6(→))＋eq\o(CB\s\up6(→))＝eq\o(AB\s\up6(→))为了与图中有关角的三角函数建立联系我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算得到：j·(eq\o(AC\s\up6(→))＋eq\o(CB\s\up6(→)))＝j·eq\o(AB\s\up6(→))由分配律可得：j·eq\o(AC\s\up6(→))＋j·eq\o(CB\s\up6(→))＝j·eq\o(AB\s\up6(→))∴｜j｜｜eq\o(AC\s\up6(→))｜