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混沌理论及其应用研究.pdf

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第卷第期?&@ 年月日AB 混沌理论及其应用研究 唐巍李殿璞陈学允 哈尔滨工程大学哈尔滨哈尔滨工业大学哈尔滨 摘要给出了混沌的定义及其相关概念并以  映射为例深入浅出地阐明了混沌运动的基 本性质和基本规律概括介绍了混沌的识别方法通向混沌的道路最后论述了混沌应用的巨大潜 力并指明混沌在电力系统中的可能应用方向 关键词混沌理论  映射混沌应用电力系统 中图分类号 引言邻的轨道随时间的发展会指数地分离由于这种不 稳定性系统的长时间行为会显示出某种混乱性 混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一 分形和分维分形是0维空间一个点集的一种 种非周期运动形式其覆盖面涉及到自然科学和社 几何性质该点集具有无限精细的结构在任何尺度 会科学的几乎每一个分支混沌运动的早期研究可 下都有自相似部分和整体相似性质具有小于所在 以追溯到年美国气象学家 !"#对两无限平 空间维数0的非整数维数分维就是用非整数 面间的大气湍流的模拟在用计算机求解的过程 维11分数维来定量地描述分形的基本性质 中 !"#发现当方程中的参数取适当值时解是 不动点又称平衡点定态不动点是系统状态 非周期的且具有随机性即由确定性方程可得出随 变量所取的一组值对于这些值系统不随时间变化 机性的结果这与几百年来统治人们思想的拉普拉 在连续动力学系统中相空间中有一个点2若满 斯确定论相违背确定性方程得出确定性结果随 足当345时轨迹2342则称2为不动点 后$!""和%&!等也得到类似结论 吸引子指相空间的这样的一个点集6或一个 %’!&&!()*! !"+(’,等对这类随机运动的特 子空间对邻域的几乎任意一点当时所有 性进行了进一步研究-.从而开创了混沌这一新6345 轨迹线均趋于吸引子是稳定的不动点 的研究方向近二三十年来近似方法非线性微分6 奇异吸引子又称混沌吸引子指相空间中具有 方程的数值积分法特别是计算机技术的飞速发展 分数维的吸引子的集合该吸引集由永不重复自身 为人们对混沌的深入研究提供了可能混沌理论研 究取得的可喜成果也使人们能够更加全面透彻地认的一系列点组成并且无论如何也不表现出任何周 期性混沌轨道就运行在该吸引集中 识理解和应用混沌本文将介绍与混沌有关的基本 分叉和分叉点又称分岔或分支指在某个参数 概念和基本理论以及混沌应用研究的最新进展希 或某组参数发生变化时长时间动力学运动的类型 望能起到抛砖引玉的作用 也发生变化这个参数值或这组参数值称为分叉 /混沌的基本概念点在分叉点处参数的微小变化会产生不同性质的 动力学特性故系统在分叉点处是结构不稳定的 混沌目前尚无通用的严格的定义一般认为 周期解对于系统当时 将不是由随机性外因引起的而是由确定性方程内2078920045 若存在则称该系统有周期解不动 因直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌:8207;820;: 点可以看做是周期解因为它满足 相空间在连续动力系统中用一组一阶微分方207820 程描述运动以状态变量或状态向量为坐标轴的 混沌运动的基本性质 空间构成系统的相空间系统的一个状态用相空间< 的一个点表示通过该点有唯一的一条积分曲线  映射是非线性方程中出现的一个 混沌运动是确定性系统中局限于有限相空间能成功地进行实验数学研究的不寻常的实例它虽 的高度不稳定的运动所谓轨道高度不稳定是指近然简单却能体现出所有非线性现象的本质以  映射这只=小麻雀>为例来说明混沌运动的 收稿日期基本性质  映射如式最初用来描述昆 /- 虫数目的世代变化规律不断地经历倍周期分叉最终达到混沌    称当时由系统 产生的序列01为混 沌变量混沌变量的运动形式有如下特征  01 其中为控制参量有限差分方程 可以看做是$随机性当时23456758映射在有限区 一个动力学系统间内不稳定运动其长时间的动态行为将显示 随机性质图为当时的运动轨迹迭