方程组解应用题.doc

十字相乘①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
图示如下：
a╲╱c
b╱╲d
例如：因为
1╲╱2
-3╱╲7
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)．

例精析
例1.手牵着手，心连着心．2008年5月12日发生在四川汶川的特大地震灾害，牵动着全中国人民的心．某校团支部发出为灾区捐款的倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐款，已知全校师生共捐款4万5千元，其中学生捐款数比老师捐款数的2倍少9千元，该校老师和学生各捐款多少元?
解：设老师捐款x元，学生捐款y元．则有
，
解得
答：该校老师捐款18000元，学生捐款27000元．

例2.某厂去年的利润为50万元，今年的总产值比去年增加10％，总支出比去年减少了20％，计划今年的利润为130万元．去年的总产值和总支出各是多少？
分析：增长率问题是中考的热点之一，关键是搞清原量是多少，列出正确的式子．
利用表格对去年和今年的总利润、总产值、总支出进行对比．
设去年的总产值为ｘ万元，总支出为ｙ万元．列出下表：
总产值总支出总利润去年ｘｙ50今年（１＋10％）ｘ（1－20％）ｙ130解：设去年的总产值为ｘ万元，总支出为ｙ万元．
根据题意，列出方程组，
解，得．
答：去年的总产值为300万元，总支出为250万元．

例3.甲、乙两车相距150公里，若两车同时相向而行，则1.5小时相遇；若同时同向而行，则5小时后，甲车追上乙车．求甲、乙两车的速度．
分析：相遇问题中的等量关系：两者的路程之和等于总长．
追及问题：两人同时不同地（两人所用时间相同），同向而行，直到后者追上前者，其等量关系是：两人所走的路程之差等于已知两地距离．
设甲车的速度为ｘkm/h，乙车的速度为ｙkm/h．根据题意画出下列图形：

解：设甲车的速度为ｘkm/h，乙车的速度为ｙkm/h．
根据题意，列出方程组，
解，得．
答：甲车的速度为65km/h，乙车的速度为35km/h．
说明：解答应用题的过程就是把实际问题抽象成数学问题并进行求解的过程，解方程往往并不困难，难的是如何列出方程，即如何挖掘问题中的相等关系．解行程问题的应用题时，通常采用线段图或列表进行分析，从而正确地找出等量关系，列出方程（组）解决问题．

例4.一个两位数字，个位数字与十位数字之和为9．如果将这个两位数加上27，则刚好得到个位与十位数字对调后组成的两位数．求原来的两位数．
分析：题中的两个未知数是个位数字与十位数字．
题中的两个等量关系是：个位数字＋十位数字＝9；
原两位数＋27＝个位与十位数字对调后组成的新的两位数．
解：设个位数字是ｘ，十位数字是ｙ．
根据题意，列出方程组，
解，得．
答：这个两位数是36．

例5.佳佳问王老师的年龄，王老师说：“我像你这么大时，你才1岁；你到我这么大时，我就40岁了．”问佳佳和王老师今年各是多大？
分析：题目看上去已知条件极少，无从下手．但仔细分析后，发现常识性的道理，随着年龄的增长，不变的是两人的年龄差．
未知数是两人的年龄．
等量关系：王老师的年龄－佳佳的年龄（“我像你这么大时”）＝王老师的年龄－佳佳的年龄（现在）＝王老师的年龄－佳佳的年龄（“你到我这么大时”）；
解：设佳佳今年ｘ岁，王老师今年ｙ岁．
根据题意，列出方程组．
解，得．
答：佳佳今年14岁，王老师今年27岁．

例6.某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套（一个螺钉配一个螺母）时就可以运进库房．若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名．问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房？
分析：这里有两个未知数——生产螺钉的人数和生产螺母的人数．
有两个相等关系：
⑴生产螺钉的人数＋生产螺母的人数=总人数（81名）
⑵每天生产的螺钉数=每天生产的螺母数
解：设生产螺钉的工人有名，生产螺母的工人有y名，
根据题意，列出方程组得．
解方程组，得．
答：生产螺钉的工人有36名，有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房．
说明：对于这种分配问题，要善于从题中找到数量关系，理清搭配关系，灵活应用所学知识来解决实际问题．

例7.有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件，丙1件共需315元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需元钱．
解