导学案016导数的应用(二).doc

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号015班级：高三（）姓名
导数的应用（二）
考纲要求
1.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．
2.会利用导数解决某些实际问题.
考情分析
1.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！
2.选择题、填空题主要考查函数的最值，而解答题则考查函数综合问题，一般难度较大.
教学过程

基础梳理

1．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值
2．生活中的优化问题
利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：

双基自测
1．函数f(x)＝x3－3x(－1<x<1) ()
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，也无最小值
D．无最大值，但有最小值
2．(教材习题改编)函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是（） A．－9B．－16
C．－12 D．－11
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）
A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件
4．(教材习题改编)函数g(x)＝ln(x＋1)－x的最大值是______．
5．面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是______．

典例分析
考点一、函数的最值与导数
[例1](2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x－k)
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
变式1．[文](2012·济宁模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象在点p(1,0)处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求a，b；
(2)求函数f(x)在[0，t](t>0)内的最大值和最小值．
方法总结：
函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展．从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.

考点二、实际生活中的优化问题与导数
例2.(2012·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x>6)，年销售为u万件，若已知eq\f(585,8)－u与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,4)))2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
变式2.(2012·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(x>6)，年销售为u万件，若已知eq\f(585,8)－u与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,4)))2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件．
(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；
(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．
方法总结：
利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，构造出实际问题的数
学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，并根据实际意义确定定义域；
(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定义域内的实根，确定极值点；
(3)比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值；
(4)还原到实际问题中作答.
考点三、利用导数解决不等式问题
[例3](2011·辽宁高考)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)≤2x－2.
变式3.(2012·辽宁协作体联考)已知f(x)＝xlnx.
(1)求g(x)＝eq\f(fx＋k,x)(k∈R)的单调区间；
(2)证明：当x≥1时，2x－e≤f(x)恒成立．
方法总结：
利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对∀x∈[a，b]都有f(x)≥g(x)，可设h(x)＝f(x)－g(x)只要利用导数说明h(x)在[a，b]上的最小值为0即可．
考点四、恒成立问题与导数
例4.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－eq\f(2,3)与x＝1时都取得极值，
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1,2]，不