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高三数学函数图象与变换、函数性质的综合应用、导数的概念与应用（理）人教实验版（B）

【本讲教育信息】
一.教学内容：
函数图象与变换、函数性质的综合应用、导数的概念与应用

二.知识分析
函数图象与变换
【高考要求】
①给出函数的解析式或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象；
②给出函数的图象求解析式；
③给出含有参数的解析式和图象，求参数的取值范围；
④考查函数图象的平移、对称和翻折；
⑤和数形结合有关问题．函数的图象是函数的直观体现，运用函数的图象研究函数的性质非常方便．函数的图象正成为高考命题的热点之一．
重点：①已知解析式判断函数图象或已知图象判断解析式中参数的范围；
②函数图象的平移、对称和翻折；
③从基本函数的图象变换到复合函数的图象等．
难点：①利用函数性质识图；
②和数形结合有关的问题．

【典型例题】
例1、函数的图象无论经过平移还是沿直线翻折后仍不能与的图象重合，则是（）（A） （B）（C）（D）
解析：将的图象沿直线翻折即可与的图象重合，排除A；
将沿轴翻折即可与图象重合，排除B；
将的图象向右平移1个单位，再沿轴翻折即可与的图象重合，排除C，故选D．

例2、设，二次函数的图象为下列之一：
则a的值为（）
（A）1 （B）－1 （C） （D）
解析：前两个函数图象关于轴对称，故，与条件不符，后两个函数图象都过定点（0，0），故，即，又由对称轴大于零，即，由得，所以取，故选B．

例3、设函数的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，，则=．
解析：由，即过点（4，0），又的图象关于点（1，2）对称，可知：过点（，4），∴，故=．

例4、（1）已知函数的图象如图（甲）所示，的图象如图（乙）所示，则函数的图象可能是图A、B、C、D中的（）

（2）对函数定义域中任一个的值，均有，求证：的图象关于直线对称。
解析：（1）由图象可知是偶函数，是偶函数，是偶函数，排除A，D。
又当取非常小的正数时，。
则有，排除B，故应选C。
（2）证明：设是函数图象上任一点，则
又
所以也在函数图象上，而
所以与点关于直线对称
故的图象关于直线对称

例5、已知函数，，是方程的两根，且，，试判断实数，，，的大小关系．
解析：∵，
∴，，
∴，是方程的两根，
即函数的图象与直线交点的横坐标．而，是方程的两根，
∴，为函数的图象与轴交点的横坐标．
又，，故如图所示可得．

例6、已知函数，
（1）证明：函数的图象在轴一侧；
（2）设，是图象上的两点，证明直线的斜率大于零；
（3）求函数与的图象交点坐标．
解析：（1）由即，①当时，，函数图象在轴右侧；②当时，，函数图象在轴左侧，故函数图象总在轴一侧．
（2）由于，又由，故只需证即可．
，
当时，由得，即，故有，，即；
当时，由得，即，故有，，即．
综上直线AB的斜率总大于零.
（3），，当它们图象相交时：可解得：，所以，，即交点坐标为：，．

函数性质的综合应用
【高考要求】
函数的综合应用在高考中的分值大约为20分左右，题型的设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其它知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的综合应用是高考考查的主要着力点之一．
重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；
②函数与不等式结合；
③函数与方程结合；
④函数与数列结合；
⑤函数与向量结合；
⑥利用导数来刻画函数．
难点：①新定义的函数问题；
②代数推理问题，常作为高考压轴题．

【典型例题】
例1、设函数是定义在R上的以3为周期的奇函数，若，，则的取值范围是（）
（A） （B）且
（C）或 （D）
解析：∵以3为周期，所以，又是R上的奇函数，∴，则，再由，可得，即，解之得，故选D．

例2、设是函数的反函数，则使成立的x的取值范围为（）
（A）（B）（C）（D）
解析：∵是R上的增函数，∴，即x>f（1）。又，∴，故选A．

例3、已知函数，若方程有两个相等的实根，则函数f（x）的解析式为___________．
解析：∵，∴方程即，则．因为方程有两个相等的实数根，所以b=4时x=0，符合题意．∴．

例4、对a，bR，记函数（xR）的最小值是．
解析：
化简得：
在坐标系中作出的图象，可知：当时，为增函数，；当时，为减函数。∴。综上，．

例5、已知是定义在区间上的奇函数，且，若时，有。
（1）解析不等式
（2）若对所有恒成立，求实数的取值范围。
解析：（1）任取，则

即不等式的解集为
（2）由于为增函数
的最大值为
恒成立
对任意恒成立
对任意恒成立
把看作的函数，由知其图象是一线段。
对任意恒成立

例6、设，若，，求证：
（Ⅰ）方程有实根，且；
（Ⅱ）设是方程的两个实根，则；
（Ⅲ）方程在（0，1）内有两