双曲线教案.doc

双曲线及其标准方程（第一课时）
教学目标：
1．掌握双曲线的定义，能说出其焦点、焦距的意义；
2．能根据定义，按照求曲线方程的步骤推导出双曲线的标准方程，熟练掌握两类标准方程；
3．能解决较简单的求双曲线标准方程的问题；
4．培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理能力。
教学重点：双曲线的定义和标准方程。
教学难点：双曲线标准方程的推导过程。
教学过程：
一、创设情景，引入新课：
1,0)和F2(1,0)，定圆C1的圆心为F1，且半径为r，动圆C2过定点F2，且与定圆相切。师：我们先来思考这样一个问题：（打开几何画板）已知定点F1(
1，试求动圆圆心的轨迹。4，试求动圆圆心的轨迹；（2）若r（1）若r
（教师结合几何画板演示分析）：
4时，我们得到的轨迹是什么？师：当r
生：是椭圆。
是：为什么？
4时动圆C2内切于定圆C1，所以两个圆的圆心距MF1满足生：因为当r4满足椭圆的定义，所以得到的轨迹是一个MF2MF2，移项后可以得到：MF14MF1
以F1、F2为定点，4为定长的椭圆。
1呢，此时动圆C2与定圆C1相切有几种情况？师：很好。那么，当r
生：有两种情况：内切和外切。
师：我们先来考察两圆外切时的情况（演示），我们得到的轨迹满足什么条件？
1。(教师演示轨迹)MF2MF2，移项后可以得到：MF11生（同时教师板书）：由于两圆外切，所以两个圆的圆心距MF1满足MF1
师：我们再来考察两圆内切时的情况（演示），我们得到的轨迹又满足什么条件？生（同时教师板书）：由于两圆内切，所以两个圆的圆心距MF1满足1。(教师演示轨迹)MF21，移项后可以得到：MF1MF2MF1
师（同时演示两种情况下的轨迹）：我们可以得到与定圆相切且过定点的动圆的圆心满足
1，圆心的轨迹我们称之为双曲线。MF21即MF1MF2MF1
二、新课讲解：
1、定义给出
师：今天我们来学习双曲线。同学们能否结合刚才的问题给双曲线下个一般定义？生：双曲线是到平面上两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹。这两个定点叫
做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
师：由椭圆的定义，一般情况下，我们设该常数为2a。那么什么情况下表示的是双曲线的右支，什么情况下表示的是双曲线的左支？2a时，表示的是双曲线的左支。MF22a时，表示的是双曲线的右支，当MF1MF2生：当MF1
2、定义探究
（教师引导学生分情况讨论）：
师：这个常数2a有没有限制条件？
生：有。这个常数2a要比焦距F1F2小。
师：很好。为什么要有这个限制条件呢？其他情况会是怎样的呢？我们一起来分析一下：
MF2，此时轨迹为线段F1F2的中垂线；0即MF1MF2（1）若a=0，则有MF1
F1F2，此时轨迹为直线F1F2上除去线段F1F2中间部分，MF2（2）若2a=F1F2,则有MF1
以F1、F2为端点的两条射线；
（3）若2a>F1F2,则根据三角形的性质，轨迹不存在。
3、双曲线标准方程的推导过程：
师：我们学过求曲线的方程的一般步骤，现在我们一起根据定义求双曲线的标准方程。（师生互动，
共同推导之）
第一步：建立直角坐标系；
c,0)和F2(c,0)，M到焦点的距离差的绝对值等于2a；第二步：设点：设M(x，y)，焦点分别为F1(2a；MF2MMF1第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集：P
2a；y2c)2(xy2c)2第四步：建立方程：(x
ab
c,0)和F2(c,0)的双曲线标准方程为教师强调：我们得到了焦点在x轴上，且焦点是F1(
x2
a2b2
师：那么如果焦点在y轴上呢？（学生练习）
y2x2
0)。ab0,b1(a2生（练习后）：此时的标准方程应该是2
4．双曲线标准方程的探讨：
师：刚才我们共同推导了双曲线的标准方程。请同学想一下，双曲线标准方程中字母a、b、c的关
0)0,b1(ay22第五步：化简，得到x22b2a20)，这里c20,b1(ay2b？系如何？是不是a
b。c，但不能判断ab2，可以得到a,bc2b2，所以有a2a2生：a、b、c满足等式c2师：很好。我们在求双曲线标准方程过程中还发现，确定焦点对求双曲线方程很重要。那么如何根
据方程判定焦点在哪个坐标轴上呢？
y2x2x2y2
1，我们发现焦点所在轴相abab21和22生：由于焦点在x轴和y轴上标准方程分别为2
关的未知数的分母总是a，所以可以由a来判定。
x2y2
1，那么你如何寻找a？师：很好。如果我们知道的方程是32
生：因为a所在的这一项未知数的系数是正的，所以只要找正的系数就可以了。
x2y2
1呢？师：如果方程是32