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几类插值方法及其应用
王莎20089001S041

摘要：在工程应用中，经常会遇到函数的表达式是已知的，但该表达式却比较复杂难以计算，因此，希望用一个既能反映该函数的特性又便于计算的简单函数来描述它。本文对常见的几种插值方法-插值，插值，插值方法的基本思想、插值函数的构造等进行了详细的介绍。
关键字：插值基函数，插值多项式，插值节点。

一·引言
实际问题中经常有这样的函数,其在某个区间上有有限个离散
点，且这些点对应函数值为，若想得到其它点的值就必须找一个满足上述条件的函数表达式。这就是下边要讨论的插值函数。

二·插值函数
1.插值函数的基本思想:将待求的次插值多项式写成另一种表达方,式再利用插值条件确定出插值基函由基函数条件,确定多项式系数，进而可得插值函数.
2.提出问题：（1）已知，求满足条件的插值函数。
由题可知表示过两点的直线，这个问题是我们所熟悉的，它的解可表为下列对称式

此类一次插值称为线性插值，若令
（由此可得：））
则有
这里的可以看作是满足条件的插值多项式，这两个特殊的插值多项式称作上述问题的插值基函数。
（2）求过三点的插值函数。
为了得到插值多项式先解决一个特殊的二次插值问题。
求作二次式，使满足（2-1）
这个问题是容易求解的，由式（2-1）的后两个条件知是的两个零点，
因而。再用条件确定系数c.
结果得：
类似可以分别构造出满足条件的插值多项式；
其表达式分别为，
这样构造出的称作问题（2）的插值基函数。
设取已知数据作为组合系数，将插值基函数组合得

验证可知，这样构造的满足已知条件，因而它就是问题（2）的解。
例1.利用100，121的开方值求。
解：将已知可表示为
由此可得
所以
将代入上式，求得。
(3)推广到一般：已知函数在n+1个不同点上的函数值分别为
求一个次数不超过n的多项式,使其满足:

即个不同的点可以决定的一个次多项式。

过个不同的点分别决定个次插值基函数。

每个插值基多项式满足：
a.是次多项式;
b.,而在其它个点
由于故有因子:

因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令:
由,可以定出,进而得到：

2.次拉格朗日型插值多项式
是个次插值基本多项式的线性组合,相应的组合系数是。即:

从而是一个次数不超过n的多项式,且满足

例1求过点的拉格朗日型插值多项式。解用4次插值多项式对5个点插值。
可得

所以
拉格朗日插值多项式的截断误差
我们在上用多项式来近似代替函数,其截断误差记作当x在插值结点上时下面来估计截断误差：
定理1：设函数的阶导数在上连续，在上存在；插值节点为:是次拉格朗日插值多项式；则对任意有：其中，ξ依赖于；
证明：由插值多项式的要求：
设
其中是待定系数；固定且
作函数
则且
所以在上有个零点，反复使用罗尔中值定理:
存在，使;因是n次多项式，故而
是首项系数为1的n+1次多项式，故有于是得
所以
设
则：易知，线性插值的截断误差为:二次插值的截断误差为:
三·插值函数的构造
1.插值法的基本思想：已知节点处的函数值或一元函数代数方程，将待求的n次插值多项式改写为具有承袭性的形式，然后根据插值条件或选取初值以求得待定系数，进而求得所要的插值函数。
插值与插值相比具有承袭性和易于变动节点的特点。
2.问题的提出：实践中的许多问题归结为求一元代数方程的根，如果是线性函数，则它的求根较容易；对非线性方程，只有不高于4次的代数方程有求根公式，经常需求出高于4次的满足一定精度要求的近似解。
3.法的简述
设是的一个近似根，把在处泰勒展开

若取前两项来近似代替，则的近似线性方程

设0，设其根为，则的计算公式为
=-（k=0,1,2.....）
这即为牛顿法，上式为牛顿迭代公式，其迭代函数为

我们知道，牛顿法是解非线性方程最著名和最有效的方法之一，在单根附近它比一般的迭代格式有较快的收速度，但也要注意它也有缺点：首先，它对迭代初值选取要求较严，初值选取不好，可能导致吧收敛；其次，它每迭代一次要计算的值，这势必增加可计算量。为回避该问题，常用一个固定的迭代若干步后再求。这就是下面要讲的简化牛顿法的基本思想。
简化牛顿法和下山牛顿法
简化牛顿法的公式为
(3-1)
迭代函数
若。即在根附近成立。则迭代法（3-1）
局部收敛。此法显然化简了计算量。
牛顿下山法
牛顿法的收敛依赖于初值的选取，若偏离较远，则牛顿法可能发散。为防止迭代发散，我们对迭代过程在附加一项条件，即具有单调性：
（3-2）
保证函数值稳定下降，然后结合牛顿法加快收敛速度，即可达目的。
将牛顿法的计算结果
（3-3）
于前一步的近似值适当加权平均作为新的改进值
（3-4）
其中称（）为下山因子，即为
（3-5）
称为牛顿下山法。选择下山因子时，从开始逐次将减半进行试算。