计算机仿真技 术第三章 数值积分法在系统仿真中的应用.ppt

第三章数值积分法在系统仿真中的应用第三章数值积分法在系统仿真中的应用第三章数值积分法在系统仿真中的应用3.1在系统仿真中常用的数值积分法若把方程(3.1.1)式在区间上积分，则可得

(3.1.2)
上式右端的积分，一般是很难求出的，其几何意义为曲线在区间上的面积。当充分小时，可用矩形面积来近似代替：

因此，(3.1.2)式可以近似为
写成递推式
(3.1.3)
因已知，所以由上式可以求出，然后求出。依次类推，其一般规律为：由前一点上的数值可以求得后一点上的数值。这种算法称为单步法。又因为(3.1.3)式可以直接由微分方程(3.1.1)式的已知初始值作为递推计算时的初值，而不需要其他信息，因此单步法是一种自启动算法。2．几何意义
欧拉法的几何意义十分清楚。
通过点做积分曲线的切线，
其斜率为，如图3.1.1所示。
此切线与过平行于纵坐标轴
的直线交点即为，再过点
做积分曲线的切线，它与
过平行于轴的直线交点即为。
这样可得一条过，，，…各点的折线，
称为欧拉折线。
点是位于方程(3.1.1)式的解曲线在点的切线上，而不是在初值问题(3.1.1)式的解曲线上，更不是在解曲线经过点的切线上。3．误差分析

理论上由欧拉法所得的解，当时收敛于微分方程的精确解。由于一般都是以一定的步长进行计算的，所以用数值方法求得的解在点的近似值与微分方程之间就有误差。

数值仿真的误差一般分截断误差和舍入误差两种。截断误差与采用的计算方法有关，而舍入误差则由计算机的字长所决定。截断误差:将在点进行台劳级数展开，即

将(3.1.4)式在以后截断，即得(3.1.3)式的欧拉公式，称为局部截断误差，它与成正比，即
(3.1.5)
另外，解以开始继续到，所积累的误差称为整体误差。一般情况整体误差比局部误差要大，其值不易估计。欧拉法的整体截断误差与成正比，即为。舍入误差：舍入误差是由于计算机进行计算时，数的位数有限所引起的，一般舍入误差与成正比。最后得到欧拉法总误差表示
(3.1.6)

由(3.1.6)式可以看出，
步长h增加，截断误差增加，
而舍入误差减小。
反之，截断误差减小，
而舍入误差加大。
其关系如图3.1.2所示。4．稳定性
求解微分方程的另一个重要问题是数值解是否稳定。为了考察欧拉法的稳定性，
研究方程为微分方程的特征根。

此方程的欧拉解为

(3.1.7)
显见，方程(3.1.7)是一个离散时间系统，因此根据离散时间系统的稳定性可知，在区域中，系统(3.1.7)是稳定的，欧拉法也是绝对稳定的。
如果不满足的条件，尽管原系统微分方程是稳定的，利用差分方程(3.1.7)式求得的数值解是不稳定的。所以利用欧拉法保证数值解是稳定的，
其步长限制条件是(3.1.8)

分析欧拉法的几何意义、稳定性和误差的基本思想对其他数值积分法也是适用的。5．改进的欧拉法（预测—校正法）
对积分公式(3.1.2)式利用梯形面积公式计算其右端积分，得到

将上式写成
递推差分格式为(3.1.9)
从(3.1.9)式可以看出，用梯形法计算(3.1.1)式时，在计算中，需要知道，
而又依赖于本身。因此，要首先利用欧拉法计算每一个预估的，以此值代入原方程(3.1.1)式计算，最后利用(3.1.9)式求修正后的。所以改进的欧拉法可描述为
预测

校正
(3.1.10)

欧拉法每计算一步只需对调用一次。而改进的欧拉法由于加工校正过程，计算量较欧拉法增加一倍，付出这种代价的目的是为了提高计算精度。3.1.2龙格—库塔法
欧拉法是将在点附近的经台劳级数展开并截去以后各项得到的一阶一步法，所以精度较低。如果将展开式(3.1.4)式多取几项以后截断，就得到精度较高的高阶数值解，但直接使用台劳展开式要计算函数的高阶导数。龙格—库塔法是采用间接利用台劳展开式的思路，即用在n个点上的函数值f的线性组合来代替f的导数，然后按台劳展开式确定其中的系数，以提高算法的阶数。这样既能避免计算函数的导数，同时又保证了计算精度。由于龙格—库塔法具有许多优点，故在许多仿真程序包中，它是一个最基本的算法之一。1．显示龙格—库塔法
对于初值问题(3.1.1)式，假设其精确解是充分光滑的，故可将其解在附近用台劳级数展开，即

(3.1.11)
依据偏导数关系

(3.1.12)

将式(3.1.12)式代入(3.1.11)式，得
又设原问题的数值解公式为

(3.1.14)

式中：—待定的权因子；
—解公式的阶数；
—不同点的导数和步长的乘积；
—待定系数，而且。
方程(3.1.13)式和(3.1.14)式是两个基本方程，由此可以导出不同阶次的龙格—库塔公式。当时，由(3.1.13)式可得

(3.1.15)
由(3.1.14)式可得

(3.1.16)
比较(3.1.15)式和(3.1.1