有限元法及其在数学物理中的应用.pdf

乐山师专学报1986年第2期

己.门........司...,....刁......‘口....州.
⋯⋯一一

有限元法及其在数学物理中的应用

何昆弟

摘要

。
本文介绍了有限元方法的数学理论,以及应用有限元方法的一般规律同时,讨论了在

。
数学上用有限元方法求解偏微分方程及在物理学中求解的问题

前言

。
有限元方法是一种离散化的数值计算方法它是在4f)年代就已提出来,直到60年代随着

。
电子计算机的发展,在解决工程力学问题中发展起来的目前有限元方法已成为求解偏微分

。、、。
方程数值解的一个重要方法它的理论基础牢靠,物理概念清楚解题效能高适用性强

、、
不但可以用来解决固体力学中的大部分问题,而且已经渗透到流体力学热传导电磁场等

’’’。、
学科领域‘““由于它对于物理几何条件复杂的问题的特别有效性冶,使它广泛应用

、、、、。
于工程技术领域,如航空航天造船建筑机械等工程部门〔“J有限元方法与最优化

。
方法相结合,为电子计算机辅助设计(CAD)开辟了广阔的前景

。
有限元方法的基础:一是变分原理;二是剖分插值也就是说,它是古典变分法(Ritz

。
一Galerkin方法)与分块多项式插值的结合产物这种结合不仅使有限元方法保持了原有变

、
分法的优点,而且还兼有差分方法的灵活性,是古典变分法的革新和发展使古典变分法大

。
大向前推进了一步
有限元方法的发展借助于两个重要的工具:一是在理论推导中采用了矩阵方法;二是在

。、、。
实际计算中采用了电子计算机有限元矩阵电子计算机是三位一体的

、。
本文只讨论有限元方法的理论基础解题的一般规律以及在数学物理方面的应用至于

。
在工程技术方面的应用,将另文专题讨论

有限元方法的理论基础

(一)变分原理

.
1泛函及其极值

128
。
先考虑弹性地基梁的例子
设有一个放在弹性地基上的梁,承受分
布横向载荷q(x)的作用,一端(x=o)

、。
固结另一端(x二l)自由问梁取怎样的
挠度w(x)能使这个系统的总势能二取最
小值?
设梁的弯曲刚度为EJ,于是梁的弯曲
应变能二、是
’二
一合(;E,(监羚)‘
再设地基的刚度系数为k,则地基中贮存的
能量二f为:
,__,
1(’」_
Ttf=二一龟长W一UX
乙Jo
由于梁的挠度,载荷q的势能变为阁
“’二一qw二
};d
因此系统的总势能为三者之和:

:一l
一以欲鲁一21kwqw}d

加上边界条件,在x=o处

一ddW一x

。
这就是一个变分问题另外,常见的最速降线问题及悬链线问题也属这一类“、

.
.“
)esl/了d了乎
/‘
几1万1卜.一‘-万
丫、dXI
T一dX(最速降线问题)
了Zgy

M=y‘··
{:之(斋)“(悬链线题问)
一y=w=w,
上述问题的一般提法是要找出函数(或曲线)y(x)〔或(x)〕使得由一巳知函
数F(x,y,y‘),通过两定点y:=y(x,)及yZ=y(xZ)所组成的积分:

,,,.
I(y)=IF(xyy)dx(11)
“X‘

。。
为极大或极小这个积分I(y)是一个泛函其中,y、二y(x,),y:=y(1:)称为强迫边界

。。
条件I(y)的极大或极小值称为极值或驻值
2.泛函的变分

“
设对某函数y二y(x)给以变分”即增量6y二各y(幼,函数从y卜-)y+6y,则相应地
I(y)脚甘今I(y+乙y),不难证明.

129
++么
“I“‘.
I(y+各y)=I(了)晋(12)

。,fa。__a。_,、,
且巾f,F~F,.
升甲各I=飞!二竺‘各y+全专syldx(13)
J“,yay,,

。
叫做泛函I(黔的一次变分,简称变分

.
利用分部积分公式可以使(13)式变为

.
一-二+乡分
。一;一一‘,五
x里里。d列F6X2。
f旦其乙耳、、y(l4)
f‘
JI、aydx、刁y,,

.
由强迫边界条件知y在两端(x:及xZ)为已知,即乙y在两端不能变化,从而(14)式简化
为
”一。y·
卜,d。
l〔器告(翻)(15)

.
3泛函的极值条件
泛函I(y)的极值条件为:

。
各I=0(16)

.
由(15)式知,有
口乡、_。
.,。
Fd~F
一二二一一二竺‘.二二,,=O(17)
aydx、ay,I

。
称为Euler方程

..
由(11)式及5与l的可交换性知,(16)式等价于

。
色F=0(18)
4.多个独立变量的情形

若F=F(x,了;,y‘)(i=1,2

=,X,i,X‘=1,2,,·
F(;;)‘(⋯).
I(了f)l;(19)
由极值原理有

。
,a
F=
Or=~夕.~曰‘如气尸各yi0
.
尸-_ayl
1二l
等价于

·
;、
一乡分日”F