构造函数法在高考解导数和数列问题中的广泛应用.doc

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构造函数法在高考解
导数和数列问题中的广泛应用

函数与方程数学思想方法是新课标要求的一种重要的数学思想方法，构造函数法便是其中的一种，下面就源于两个重要极限的不等式利用近三年高考题举例加以说明。
高等数学中两个重要极限
1．
2．（变形）
由以上两个极限不难得出，当时
1．，
2．（当时，）．
下面用构造函数法给出两个结论的证明．
（1）构造函数，则，
所以函数在上单调递增，．所以，即．
（2）构造函数，则．所以函数在上单调递增，，所以，即．
要证两边取对数，即证
事实上：设则
因此得不等式
构造函数下面证明在上恒大于0．

∴在上单调递增，
即
∴∴
以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用．例如：2009年广东21，2008年山东理科21，2007年山东理科22．

一、三年高考
1．【09天津·文】10．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知，首先令得，排除B，D．
令，则，
①当时，有，所以函数单调递增，所以当时，，从而．
②当时，有，所以函数单调递减，所以当时，，从而．综上．故选A．
【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．
2．【09辽宁·理】21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）证明：若，则对任意，，有．
解：（Ⅰ）的定义域为．
…………………2分
（i）若即，则，
故在单调增加．
（ii）若，而，故，则当时，；
当及时，．故在单调减少，
在单调增加．
（iii）若，即，同理可得在单调减少，在单调增加．
（II）考虑函数．
则．
由于故，即在单调增加，从而当时有
，即，故，当时，有．………………………………12分
3．【09广东·理】21．（本小题满分14分）
已知曲线．从点向曲线引斜率为
的切线，切点为．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
【解析】曲线是圆心为，半径为的圆，切线
（Ⅰ）依题意有，解得，又，

联立可解得，
（Ⅱ），
先证：，
证法一：利用数学归纳法
当时，，命题成立，
假设时，命题成立，即，
则当时，
∵，
故．
∴当时，命题成立
故成立．
证法二：，，

下证：．
不妨设，令，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
从而，即．
综上，成立．
4．【09全国Ⅱ·理】22．（本小题满分12分）
设函数有两个极值点，且．
（I）求的取值范围，并讨论的单调性；
（II）证明：．
【解】（I）由题设知，函数的定义域是

且有两个不同的根，故的判别式
，
即
且…………………………………①
又故．
因此的取值范围是．
当变化时，与的变化情况如下表：

因此在区间和是增函数，在区间是减函数．
（II）由题设和①知

于是．
设函数
则
当时，；
当时，故在区间是增函数．
于是，当时，

因此．www．ks5u．com

5．【2008年山东理】21．（本题满分12分）
已知函数其中为常数．
（I）当时，求函数的极值；
（II）当时，证明：对任意的正整数，当时，有
【标准答案】
（Ⅰ）解：由已知得函数的定义域为，
当时，，所以．
（1）当时，由得，，
此时．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
（2）当时，恒成立，所以无极值．
综上所述，时，
当时，在处取得极小值，极小值为．
当时，无极值．
（Ⅱ）证法一：因为，所以．
当为偶数时，
令，
则（）．
所以当时，单调递增，
又，
因此恒成立，
所以成立．
当为奇数时，
要证，由于，所以只需证，
令，
则（），
所以当时，单调递增，又，
所以当时，恒有，即命题成立．
综上所述，结论成立．
证法二：当时，．
当时，对任意的正整数，恒有，
故只需证明．
令，，
则，
当时，，故在上单调递增，
因此当时，，即成立．
故当时，有．
即．
【试题分析】第一问对讨论时要注意一些显而易见的结果，当时恒成立，无极值．第二问需要对构造的新函数进行“常规处理”，即先证单调性，然后求最值，最后作出判断．
【高考考点】导数及其应用、构造函数证明不等式
【易错提醒】没有注意该函数定义域对问题的影响，分类讨论无目标，判断
的正负漏掉符号．
【学科网备考提示】函数类问题的解题方法要内悟、归纳、整理，使之成为一个系统，在具体运用时自如流畅，既要具有一定的思维定向，也要谨防盲目套用．此类问题对转化能力要求很高，不能有效转化是解题难以突破的主要原因，要善于构造函数证明不等式，从而体现导数的工具性．
6．【2007年山东理】（22）（本小题满分14分）
设函数，其中．
（I）当时，判断函数在定义域上的单调性；