棱柱与棱锥.doc

棱柱与棱锥
内容提要1．棱柱的本质特征有两个：（1）有两个面（所在平面）互相平行；（2）其余各面中每相邻两个面的公共边互相平行。2．棱柱按不同的分类标准可以得到不同的分类方法；（1）以底面多边形的边数分类：棱柱底面是几边形就称这棱柱是几棱柱。如底面是三角形，四边形，五边形等的棱柱分别叫三棱柱，四棱柱，五棱柱等。（2）以侧棱和底面的关系分类：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱；侧面和底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。对于具体的棱柱我们往往同时用它的两种类属来表示，如斜三棱柱，直四棱柱，正五棱柱等，这种表示方法更能体现棱柱的特征。3．棱柱的性质，可以由棱柱的定义出发，利用空间直线和平面相应位置关系的有关知识推出。（1）棱的性质：侧棱都平行，并且都相等。（2）面的性质：侧面是平行四边形；两个底面平行，是全等多边形。（3）截面性质：平行于底面的截面是与底面全等的多边形；对角面是平行四边形。4．计算公式（1）棱柱的体积：V棱柱=Sh（S为底面积，h为棱柱的高）；（2）棱柱的侧面积=各侧面面积之和；（3）长方体的对角线长l：l2=a2+b2+c2（a、b、c分别为长、宽、高）。5．直棱柱直观图的斜二侧画法包括两个主要步骤：（1）水平放置的平面图形（直棱柱的下底面）的画法；（2）直棱柱的侧棱及上底面的画法。
要点揭密在学习本节时，要注意在掌握概念和性质的基础上，以常见的三棱柱、平行六面体、长方体、正方体为截体，研究与处理：线线关系、线面关系、面面关系。解决这类问题常用的方法有：作辅助线，或补形等等。利用前面所学知识，转化、降维，把数和形完美地结合起来，使问题获得解决。
知识讲解一．棱柱1．棱柱的概念及其性质
名称棱柱直棱柱正棱柱定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫做棱柱。侧棱不垂直底面的棱柱叫做斜棱柱。侧棱柱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱性质1．侧棱都相等且互相平行2．侧面都是平行四边形3．两个底面与平行于底面的截面（对角面）是全等的多边形4．过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形1．侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高2．侧面是矩形3．两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形4．对角面是矩形1．侧棱都相等且互相平行，等于棱柱的高2．侧面是全等的矩形3．两个底面与平行于底面的截面是全等的正多边形4．对角面是矩形，有的会是全等的矩形2．棱柱的分类（1）根据棱柱底面边数分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱……（2）按照棱柱的侧棱与底面的位置关系分别称做斜棱柱（侧棱与底面不垂直），直棱柱（侧棱与底面垂直）（3）底面是正多边形的直棱柱又称为正棱柱（4）平行六面体的性质见下表:
名称平行六面体直平行六面体长方体正方体定义底面是平行四边形的四棱柱侧棱与底面垂直的平行六面体底面是矩形的直平行六面体棱长都相等的长方体性质1．具有一般棱柱所有的性质2．六个面都是平行四边形3．相对的两个面都互相平行且相等4．两条对角线相交于一点且在该点互相平分1．具有平行六面体所有的性质2．四个侧面都是矩形，相对的侧面是全等的矩形3．对角面是矩形1．具有直平行六面体所有的性质2．一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和1．具有长方体的所有性质2．一条对角线的长的平方等于一条棱长的平方的三倍（5）柱体（棱柱和圆柱）的体积等于它的底面积乘以高，柱体的体积公式是V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高。（6）关于长方体的对角线的定理即长方体的一条对角线长的平方等于同一顶点上的三条棱的长的平方和，是研究长方体问题的基础。二．棱锥1．锥的概念和性质和求积公式
名称棱锥正棱锥定义底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫棱锥底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫做正棱锥性质1．底面是多边形2．侧面是以棱锥顶点为公共顶点的三角形3．侧棱不一定相等4．棱锥截面性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比1．底面是正多边形2．侧面都是全等的等腰三角形3．侧棱都相等4．同左4，对正棱锥仍然成立5．棱椎的高，斜高和斜高在底面上的射影以及棱锥的高，侧棱和侧棱在底面上的射影分别组成直角三角形侧面积棱锥的底面周长是C，斜高是h，则S侧＝全面积棱锥的侧面积是S侧，底面积是S底，则S全=S侧＋S底体积棱锥底底面积是S高是h，V锥体=Sh2.正棱锥是学习的重点，要注意以下两点，其一是棱锥的底面是正多边形；其二是棱锥的顶点在底面内的射影是底面的中心。

3．记住下表的关系，将有助于关于多面体中的面积和体积的运算。

例题分析
第一阶梯
[例1]下列命题：（1）各侧面都是正方形的棱柱一定是正