江苏省常州市武进区2012届高三上学期期中考试数学试卷.doc

2012届常州市武进区高三上学期期中考试数学卷
高三数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相
应的位置上）
1.已知集合若则▲.
2.已知平面向量且则▲.
3.函数的定义域为▲.
41.已知函数若则▲.
5.若二次函数满足且则实数的取值范
围是▲.
6.满足不等式组则目标函数的最大值为▲.
7.若规定：
例如：则函数的奇偶性为▲.
8.等差数列前项和为若则▲.
9.在中，若则面积的最大值为▲.
10.若的最小值为-2，其图像相邻最高点与最低
点横坐标之差为又图像过点则其解析式是▲.
11.若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“可连数”；
如：32是“可连数”，因为不产生进位现象，23不是“可连数”，因为
产生进位现象，那么自然数中小于100的“可连数”的个数为▲.
12.已知定义在上偶函数且当时有则不等式解集为▲.
13.已知且则的最小值是▲.
14.已知集合定义函数且点
若AABC的内切圆圆心为且
则下列结论正确的有____▲.（填上你认为正确的命题的序号）
①必是等腰三角形；
②必是直角三角形；
③满足条件的实数有3个；
④满足条件的函数有l2个.
二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.在平面直角坐标系中，已知点其中
(1)若求证：
(2)若求的值.
16.（本题满分14分）
设函数
(1)求的单调区间；
(2)证明：对任意的都有

17.（本题满分14分）
我们将具有下列性质的所有函数组成集合函数对任意
均满足当且仅当时等号成立。
(1)若定义在上的函数试比较与大小；
(2)给定两个函数：
证明：
(3)试利用(2)的结论解决下列问题：若实数满足求的最大值。

18.（本题满分16分）
某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，
（万元）.现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生
产此商品能全部销售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
19.（本题满分16分）
已知数列是等差数列，
(1)判断数列是否是等差数列，并说明理由；
(2)如果为常数），试写出数列的通项公式；
(3)在(2)的条件下，若数列得前项和为，问是否存在这样的实数使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
20.（本题满分16分）
已知二次函数（其中)，其导函数的图象如图，

(1)求函数在.处的切线斜率；
(2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
(3)若函数的图像总在函数图象的上方，求的取值范围.

武进区2011～2012学年度第一学期期中调研测试
高三数学评分标准
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．2．3．4．或 5．6．47．偶函数8．159．10．11．1212．13．14．①③④
二、解答题：（本大题共6道题，计90分）
15．（本小题满分14分）
解：⑴（方法一）
由题设知 2分
所以
6分
因为所以，故 7分
（方法二）
因为所以，故 2分
因此 4分
因为
所以
⑵因为，所以
即
解得……………………9分
因为所以
因此 12分
从而
14分
16．（本题满分14分）
解：⑴由已知得， 2分
令，得，即，
解得 4分
令，得，即，
解得 6分
故单调递增区间为，
单调递减区间为。 7分
⑵ 令，则
， 9分
故对于，都有因而在上递减， 12分
对于，都有
因此对于，都有 14分
17．（本题满分14分）
解：⑴即 2分
但，所以
4分
⑵①对于则，
所以
所以 6分
②对于，则
，而函数为增函数

即
则
所以 9分
⑶设，则，且
由（2）知：函数满足
得即
所以，当且仅当即
即时有最大值 14分
18．（本题满分16分）
解：⑴当时，
3分
当，时，
6分
8分
⑵当时，，
当时，取得最大值 11分
当

当，即时，取得最大值 14分
综上所述，当时取得最大值，即年产量为千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大. 16分
19．（本题满分16分）
解：⑴设的公差为，则

3分
数列是以为公差的等差数列 4分
⑵

两式相减：
6分

8分

10分