主元思想在含参问题中的应用 学习指导 不分版本 试题.doc

主元思想在含参问题中的应用余红丹含参数问题通常含有两个或两个以上变元我们在解题中可视其中一个为主元其余视为参数化多元问题为一元问题常可降低思维难度。1.主元与次元互换一般地可把已知范围的那个量看作自变量另一个看作常量。例1.对于的一切实数不等式恒成立求x的取值范围。分析：习惯上把x当作自变量记函数y＝于是问题转化为当时恒成立求x的范围。解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理这是比较复杂的。若把x与p两个量互换一下角色即将p视为变量x为常量则上述问题可转化为关于p的一次函数在[04]内大于0恒成立的问题。解：设。显然时不满足题意由题设知当时恒成立所以只要且即且解得或例2.设方程上有实根求的取值范围。分析：本题若直接由条件出发利用实根分布条件求出ab满足的条件视为区域内点与原点距离的平方以此数形结合亦可获解但过程繁琐。考虑到变量ab是主变量反客为主视方程为aob坐标平面上的一条直线l：P（ab）为直线上的点则即为|PO|2设d为点O到直线l的距离由几何条件知因为令则且易知函数在上为增函数。所以即。2.常元与变元互换在一个含有变元的式子中有时将常数视为变元也即将主要变元视为常数可产生出乎意料的解题效果。例3.已知求证。证明：令于是得到关于x的方程①。若由已知知方程①的判别式。所以方程①有两个相等的实根所以所以所以即若则由题设两式易知可见也成立。点评：本题若用三角公式证明不仅代换复杂而且很难找出A、B、C之间的关系。这里注意观察条件发现是方程＋的两个相等实数根从而利用判别式和韦达定理的知识使本题获解。例4.已知二次方程＝0中的a为正整数问a取何值时此方程至少有一个非负整数根。分析：按常规先求出方程的根再由此式讨论方程至少有一个非负整数根的条件这是较为困难的。若把a视为主元解法将变得易行。解：把a视为主元则方程可改写为关于a的一次方程于是。因为a为正整数所以即解得又x是非负整数所以或而当x＝0时；x＝1时a＝1。故当a＝1时此方程至少有一个非负整数根。3.多元问题确定主元含多个参数的问题可适时确立不同的主元以达到求解之目的。例5.已知集合A＝[－11]设关于x的方程的两根为试问是否存在实数m使得不等式对任意恒成立？若存在求出m的取值范围若不存在请说明理由。分析：本题含有3个参数amt可在不同解题阶段确立不同的主元隐去另两个参数从而将问题解决。解：由得因为所以又而所以由不等式恒成立所以即恒成立。记则恒成立所以得所以存在实数m满足题意。例6.已知由长方体的一个顶点出发的三条棱长之和为1表面积为求长方体的体积的最值。解：设三条棱长分别为xyz则长方体的体积V＝xyz。由题设有所以故体积V（x）下面求x的取值范围。因为所以y、z是方程的两个实根。由因为所以当时；当时。评析：解决本题的关键在于确定目标函数时根据相关条件的特征构造了二次方程并由此得出定义域使问题得解。