物理题目中的数学归纳法.doc

物理学的中数学归纳法

1．滴水法测重力加速度的过程是这样的：让水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水落到盘子而听到声音时后一滴恰好离开水龙头，测出从听到第一滴水击盘声到第n次听到水击盘声的总时间为t，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h，即可算出重力加速度.设人耳能区别两个声音的时间间隔为0.1s，声速为340m/s，则（D）
A．水龙头距人耳的距离至少为34m
B．水龙头距盘子的距离至少为34m
C．重力加速度的计算式为g=
D．重力加速度的计算式为g=
解析：此题目相对简单，几乎没有数学归纳的意思，但能向学生说明数学归纳无处不在，树水归纳的意识。此可做一变化：若空中还有一个（或几个）水滴，再求重力加速度。
归纳：
1——0
2——Δt
3——2Δt
……
n——（n-1）Δt=t
Δt=
h=得（D）
2．（05江苏）一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和。若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)。设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg.
（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。
（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。
（供使用但不一定用到的对数值：lg2=0.301，lg3=0.477)

此题完全可以一次次往下算，不见得非要走捷径
解法（二）：一次次算
设雪橇运动的方向为正方向。狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vi,狗的速度为Vi+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为V1′，由动量守恒定律可得
第一次跳下雪橇：MV1+m（V1+u）=0
V1=－
第一次跳上雪橇：MV1+mv=（M+m）V1′
第二次跳下雪橇：（M+m）V1′=MV2+m（V2+u）
V2==3m/s
第二次跳上雪橇：
=3.5m/s
第三次跳下雪橇：

第三次跳上雪橇：（M+m）V3=
V3′==185/4m/s=4.625m/s
第四次跳下雪橇：（M+m）V3′=MV4+m（V4+u）

此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇。因此，狗最多能跳上雪橇3次。雪橇最终的速度大小为5.625m/s.

解：（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有
狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度V1′满足

可解得
将代入，得V1′=2m/s
（2）解法（一）
设雪橇运动的方向为正方向，狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度为Vn－1，则狗第（n－1）次跳上雪橇后的速度Vn-1′满足

这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vn满足

解得
狗追不上雪橇的条件是Vn≥v
可化为
最后可求得
代入数据，得
狗最多能跳上雪橇3次
雪橇最终的速度大小为V4=5.625m/s

（08四川）一倾角为θ＝45°的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度h0＝1m，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量m＝0.09kg的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度g＝10m/s2。在小物块与挡板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？

25．（20分）

解法三：一次次计算，得到结果
设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，小物块受到重力，斜面对它的摩擦力和支持力，小物块向下运动的加速度为a，依牛顿第二定律得
①
得：
设小物块碰撞后沿斜面向上运动的加速度大小为a’，依牛顿第二定律有
②
得：

小物块第一次下滑到最低点时
得③
小物块第一次沿斜面向上运动的最距离为

小物块第二次下滑到最低点时
得④
小物块第二次沿斜面向上运动的最距离为

小物块第三次下滑到最低点时
得⑤
小物块第三次沿斜面向上运动的最距离为

小物块第四次下滑到最低点时
得⑥
以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量为
⑦
总冲量为⑧
代入数据：I
得N·s⑨

解法一：动能定理求速度，然后数学归纳
设小物块从高为h处由静止开始沿斜面向下运动，到达斜面底端时速度为v。
由功能关系得
v=4m/s①
以沿斜面向上为动量的正方向。按动量定理，碰撞过程中挡板给小物块的冲量
②
设碰撞后小物块所能达到的最大高度为h’，则
③
同理，有
④
⑤
式中，v’为小物块再次到达斜面底端时的速度，I’为再次碰撞过程中挡板给小物块的冲量。由①②③