人工智能原理教案02章 归结推理方法2.3 谓词逻辑归结法基础.doc

2.3谓词逻辑归结法基础由于谓词逻辑与命题逻辑不同，有量词、变量和函数，所以在生成子句集之前要对逻辑公式做处理，具体的说就是要将其转化为Skolem标准形，然后在子句集的基础上再进行归结，虽然基本的归结的基本方法都相同，但是其过程较之命题公式的归结过程要复杂得多。本节针对谓词逻辑归结法介绍了Skolem标准形、子句集等一些必要的概念和定理。2．3．1Skolem标准形

Skolem标准形的定义：前束范式中消去所有的存在量词，则称这种形式的谓词公式为Skolem标准形，任何一个谓词公式都可以化为与之对应的Skolem标准形。但是，Skolem标准形不唯一。前束范式：A是一个前束范式，如果A中的一切量词都位于该公式的最左边（不含否定词），且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。Skolem标准形的转化过程为，依据约束变量换名规则，首先把公式变型为前束范式，然后依照量词消去原则消去或者略去所有量词。具体步骤如下：将谓词公式G转换成为前束范式前束范式的形式为：(Q1x1)(Q2x2)…(Qnxn)M(x1,x2,…,xn)即：把所有的量词都提到前面去。注意：由于所有的量词的辖域都延伸到公式的末端，即，最左边量词将约束表达式中的所有同名变量。所以将量词提到公式最前端时存在约束变量换名问题。要严守规则。约束变量换名规则：(Qx)M（x）（Qy）M（y）(Qx)M（x,z）（Qy）M（y,z）量词否定等值式：～(x)M（x）（y）～M（y）～(x)M（x）（y）～M（y）量词分配等值式：(x)(P（x）∧Q（x）)(x)P（x）∧(x)Q（x）(x)(P（x）∨Q（x）)(x)P（x）∨(x)Q（x）消去量词等值式：设个体域为有穷集合（a1,a2,…an）(x)P（x）P（a1）∧P（a2）∧…∧P（an）(x)P（x）P（a1）∨P（a2）∨…∨P（an）量词辖域收缩与扩张等值式：(x)(P（x）∨Q)(x)P（x）∨Q(x)(P（x）∧Q)(x)P（x）∧Q(x)(P（x）→Q)(x)P（x）→Q(x)(Q→P（x）)Q→(x)P（x）(x)(P（x）∨Q)(x)P（x）∨Q(x)(P（x）∧Q)(x)P（x）∧Q(x)(P（x）→Q)(x)P（x）→Q(x)(Q→P（x）)Q→(x)P（x）

消去量词量词消去原则：1)消去存在量词""，即，将该量词约束的变量用任意常量（a,b等）、或全称变量的函数(f(x),g(y)等)代替。如果存在量词左边没有任何全称量词，则只将其改写成为常量；如果是左边有全程量词的存在量词，消去时该变量改写成为全程量词的函数。2)略去全程量词""，简单地省略掉该量词。Skolem定理：谓词逻辑的任意公式都可以化为与之等价的前束范式，但其前束范式不唯一。注意：公式G的SKOLEM标准形同G并不等值。
例题2-2将下式化为Skolem标准形：～(x)(y)P(a,x,y)→(x)(～(y)Q(y,b)→R(x))解：第一步，消去→号，得：～(～(x)(y)P(a,x,y))∨(x)(～～(y)Q(y,b)∨R(x))第二步，～深入到量词内部，得：(x)(y)P(a,x,y)∧～(x)((y)Q(y,b)∨R(x))＝(x)(y)P(a,x,y)∧(x)((y)～Q(y,b)∧～R(x))第三步，全称量词左移，（利用分配律），得(x)((y)P(a,x,y)∧(y)(～Q(y,b)∧～R(x)))第四步，变元易名，存在量词左移，直至所有的量词移到前面，得：(x)((y)P(a,x,y)∧(y)(～Q(y,b)∧～R(x)))＝(x)((y)P(a,x,y)∧(z)(～Q(z,b)∧～R(x)))=(x)(y)(z)(P(a,x,y)∧～Q(z,b)∧～R(x))由此得到前述范式第五步，消去""（存在量词），略去""全称量词消去(y)，因为它左边只有("x)，所以使用x的函数f(x)代替之，这样得到：(x)(z)(P(a,x,f(x))∧～Q(z,b)∧～R(x))消去(z)，同理使用g(x)代替之，这样得到：(x)(P(a,x,f(x))∧～Q(g(x),b)∧～R(x))则，略去全称变量，原式的Skolem标准形为：P(a,x,f(x))∧～Q(g(x),b)∧～R(x)

2.3.2子句集文字：不含任何连接词的谓词公式。子句：一些文字的析取（谓词的和）。子句集：所有子句的集合
对于任一个公式G，都可以通过Skolem标准形，标准化建立起一个子句集与之相对应。因为子句不过是一些文字的析取，是一种比较简单的形式，所以对G的讨论就用对子句集S的讨论来代替，以便容易处理。子句集S可由下面的步骤求取：1.谓词公式G转换成前束范式2.消去前束范式中的存在变量，略去其中的任意变量，生成SKOLEM标准形3.将SKOLEM标准形中