考研 线性代数 笔记精华 二次型.doc

线代框架之二次型
1．定义：二次型（其中，即为对称矩阵，）。只含平方项的二次型称为二次型的标准形（此时二次型的矩阵为对角矩阵）经过化为标准形(其中).注：二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由唯一确定的.标准形的系数只在1，-1，0三个数中取值的称为二次型的规范形，任意二次型均存在可逆变换化为规范形。
2.合同：与合同设A和B是n阶矩阵，若有可逆矩阵C使得，则称A与B合同。合同的性质：；合同变换不改变二次型的正定性.
√两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√两个矩阵合同的充分条件是：√两个矩阵合同的必要条件是：
用正交变换法化二次型为标准形:
写出二次型的矩阵A；②求出的特征值、特征向量；③对个特征向量正交化，单位化；
④构造（正交矩阵）,作变换,则新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。例如：取，.
用配方法化二次型为标准形：原则：配方时每次把一个字母处理干净
3.正定二次型：惯性定理：设有二次型，秩为r，有两个可逆变换及使得及则中正数个数与中正数个数相等。
正惯性指数二次型的标准形中正项项数；负惯性指数二次型的标准形中负项项数(为二次型的秩)。二次型的规范形唯一，实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.
正定二次型不全为零，.正定矩阵正定二次型对应的矩阵.
正定矩阵的性质：①若为正定矩阵也是正定矩阵.②若为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵.
为正定二次型充要条件（之一成立）：
，；
的正惯性指数为（或规范形n个系数全为1）；
的特征值全大于；
的所有顺序主子式全大于；
与合同，即存在可逆矩阵使得；
存在正交矩阵，使得（大于）.
存在可逆矩阵，使得；
为正定矩阵的必要条件：①；②.