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小学数学教学设计的新视角
随着建构主义逐渐成为教学设计的理论基础，教学设计的主旨也转向了以学习者为中心的学习环境设计①。从这样的命题出发，决定了我们不能在教学设计过程中倚重某个要素，而抛弃某个要素。因而，多要素、多视角的和谐也就成了必然的诉求。本文以江苏教育版课程标准实验教科书四年级下册“用字母表示数”的教学HYPERLINK"http://www.shuxueweb.com/Soft/Class9/Index.html"设计为例，对此问题作如下应答。一、学校形态和原始形态的融通：在历史的长河中领悟知识的数学本质。作为数学教师，在设计教学时，面临的首要问题是深刻理解所教知识的数学本质、思想内涵。数学教育的规律告诉我们，对教学内容的理解程度直接影响到教学目标的确定、对教学对象的分析以及教学策略的选择，甚至直接影响到在课堂情境中，教者灵活应对生成性教学问题的HYPERLINK"http://www.shuxueweb.com/2006/Article/Class15/Index.html"智慧水平。因此说把握所教知识的数学本质、思想内涵是数学教学HYPERLINK"http://www.shuxueweb.com/Soft/Class9/Index.html"设计的灵魂实不为过。由于小学生的年龄特点所限，他们学习的数学知识不是纯粹的科学形态的数学，而是经过教育学、心理学以及教学法加工的学校形态的数学。②为使数学知识的呈现形式、学习顺序更符合小学生的学习规律，从数学的科学形态到学校形态，不仅仅弱化了数学的抽象性、逻辑性和形式性，而且还在相当程度上滤去了数学知识发展的脉络走向以及相互间的广泛联系，这就给广大一线教师想利用教材，全面而又深刻地理解所教知识的数学本质带来了障碍。例如，在小学数学的教材体系中，学生学习“用字母表示数”被认为是系统学习代数知识的开始，这之后，再安排学习方程的意义、解法以及列方程解决实际问题。在小学的方程知识系统中，字母只是用来表示未知数。虽然在教师的教学用书中提出，用字母表示数是学生认识上的一次飞跃。但多数教师没有原始形态的数学知识作支撑，并不能透彻地理解这句话的真正意义。因而有教师还是误认为：用字母表示数就是用字母替代未知数，使得表达更简略。那用字母表示数到底意味着什么？作为学校形态数学知识载体的教材已经无力回答这个问题了，还是让代数发展的历史告诉我们答案吧。初等代数的中心内容是围绕解方程展开的。早期，古埃及和稍后希腊人的代数，几乎毫无例外地都是用文字叙述的。像公元9世纪阿拉伯数学家阿尔•花拉子米的著作《还原和对消的科学》中，有这样一题：把一个正方形面积加上其一边长度之十倍等于39时，此正方形必是什么（用现代符号表示即为x2＋10x=39）?花氏的解答为：把所加边长的倍数除以2，得5。把该数自乘，得乘积25。把此数与39相加，得64。取此数的平方根得8，从该数中减去边长倍数之半，剩下3。此即所求正方形的边长，因而所求正方形面积等于9。〔1〕这还是一个并不复杂的问题，解答过程读来就如此艰涩，当所要解决的实际问题复杂一些时，用这种方式表达的解方程过程那该会多么繁复！这种繁复非常缓慢地促使人类形成了“必须要有一套符号”的认识。最早使用简略记号的代数学家是古希腊丢蕃图。他在著作里，将未知数称为“题中的数”，并用希腊字“数”的第一个音节的缩写来表示。这之后，许多数学家在引入代数符号方面作出了贡献，但他们的符号和丢番图一样，基本上仍是标准文字的缩写。也正因为如此，16世纪最有天才的意大利代数学家卡当在其巨著《大法》中记录的方程种类就有66种之多。〔2〕用音节的缩写来表示未知量，虽然简略了方程解法的表述，但一个个音节的缩写，其本身都具有先入为主的意义，因而就只能表示一个个特定的数量，只不过有所简略而已。每一种方程都各具独自的特点，只能按照其本身的特点和细节来处理，一种方程就需要一个特殊的解法，这无疑耗去了数学家们巨大的精力。到了17世纪，法国数学家韦达设想寻找一种求解各种类型方程的通用方法，通过研读先辈们的代数著作，他逐渐认识到，要实现自己的设想，首先要使各种类型的方程具有普遍的形式。他在自己的著作中有意识地、比较系统地提出了用字母表示不同量的想法。他这样写道：在这里，我们用一种技巧来帮助我们区别已给的量和所求的或未知的量，这就是用一种有永久性质的、易于理解的符号体系――例如，用A或其他母音字母表示未知量，用B、C、G或其他子音字母表示已知量。〔3〕韦达用统一的字母表示未知量、已知量及其运算，被公认为是对世代代数传统的突破，是代数学发展历史上的一座重要里程碑。这种价值体现在韦达超越了各类数量的具体特点，从一般意义上用字母来表示它们，省略了数学关系的实际情境，去掉了实际语言带来的差别。这样，就把原先各具特点