随机实验和随机变量.doc

随机试验和随机变量
教学目的与要求：通过本章教学，使学生理解什么是随机试验以及由它所定义的随机变量，并了解统计学的重要任务之一便是把数据看作随机变量（或称之为无限总体）的样本去推断它的这种或那种特征。作为后续章中所介绍的统计推断方法所必需的预备知识，学生通过本章的学习还应了解与随机试验和随机变量有关的属于概率论范畴的若干基本概念。
重点内容与难点：
1．随机试验及事件、概率等基本概念
2．随机变量的概念：离散型随机变量的分布列和连续性随机变量分布的图示
3．数学期望和方差的定义及数学性质

§5.1随机试验
随机现象
1．概念：在给定的条件下不能确切预见其结果的现象叫作随机现象。
2．随机现象的产生：因大量的偶然因素存在且无法控制，使现象的结果不能确定和不能完全预见的。于是，现象的随机性便产生了。
3．随机现象有一定规律性的。在给定条件下在规律值附近的数值发生的可能性较大，离规律值越近则发生的可能性越大，离规律值越远则发生的可能性越小。统计学就是要通过对随机现象的有限次的观察结果去探寻它的各种统计规律。
随机试验
1．概念：对随机现象的观测称作随机试验。
2．种类：随机试验有可重复随机试验和不可重复随机试验两种。前者是指可以在相同条件下重复进行的随机试验；后者是指不能在相同条件下重复进行的随机试验。
要注意，随机现象或随机试验的概念都是同给定的一组条件联系在一起的。给定的一组条件发生了改变，就变成了另外的随机现象和另外的随机试验。
事件
(一)事件的种类
概念：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件。
种类：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。
基本事件是试验的最基本结果：每次试验必出现一个基本事件，任何两个基本事件都不会同时出现。由两个或两个以上基本事件所组成的事件称做复合事件。
一项随机试验的所有基本事件的集合，称作该随机试验的基本事件空间。
必然事件是每次试验都一定出现的事件，记作。任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件，记作Ø。
（二）事件的关系和运算
（四）概率
（一）什么是概率
用0与1之间的数值来表明事件A在随机实验中出现的可能性大小，通常记作P（A）。这样的数值叫作事件A的概率。对于概率，通常可有两种解释：（1）某个系统的一种内在特性，这个特性不依赖于我们对该系统的知识；（2）对某一陈述相信程度的度量。
事件A的频率为
(5.1)
当试验次数n较小时，频率的数值有较大的波动；当n充分大时，频率数值的波动明显减弱，并且随着n的增大，频率会趋于稳定在某个常数p附近。我们便说频率Pn（A）的这个稳定值p是事件A的概率。即：
(5.2)
按照对概率的这种解释，当然只能在可重复随机试验的范围内讨论问题。
概率作为对某一陈述相信程度的度量，叫作主观概率。
可以直接计算概率的两种场合
有两种可以直接计算概率的场合。一种叫作古典型概率，另一种叫作几何型概率。
1．古典型概率
如果一项随机试验的全部基本事件总数是有限的，并且各个基本事件出现的可能性都相同，事件A由若干基本事件所组成，则A的概率可用下式计算
(5.3)
式中分子亦称作有利于事件A的基本事件个数。

2．几何型概率
如果随机试验可模拟为向区域Ω上随机投点。并且（1）这个区域有明确界限，可以作长度、面积、体积的几何度量。（2）随机点落在这个区域任何一点上的可能性都相同，也就是说，对于Ω中的某一区域g，随机点落在g内的概率与g的几何度量成正比，同它的形状以及在Ω中的位置无关。对于这种随机试验，如果以A表示{随机点落在区域g中}这一事件，则其概率可用下式计算
(5.4)

事件A的概率记作P（A），则不论P(A)是某个系统的内在特性，还是对某一陈述的相信程度，它都应该具有下面的性质：
性质1：非负性，即0≤P(A)≤1
性质2：规范性，即，对于必然事件Ω，有P(Ω)=1；
性质3：对于随机事件Ai(i=1，2，…)，只要它们两两互不相容，则有

（三）概率的加法规则
1.任意事件的加法规则
任意两个事件和（并）的概率，等于二事件概率的和再减去二事件同时发生的概率。即
（5.5）
在三个事件，有
(5.6)
2.不相容事件的加法规则
两个不相容事件与的和(并)的概率，等于二事件概率的和。即
（5.7）
（四）条件概率和乘法公式
在实际问题中，除了要知道事件发生概率外，有时还需要知道在“事件已发生”的条件下，事件发生的概率，这种概率称为条件概率，记作
(五)全概率公式
有时事件比较复杂，直接求它的概率有一定困难。如果我们可以把事件分解成互不相容的一些简单事件，而这些简单事件的概率却比较容易求出，那么，我们就可以用全概率公式去计算事件的概率。
全概率公式可表述如下：
设为个互