大行程柔性铰链参数优化设计.doc

光学系统在光学显微镜、半导体生产和空间探测等超精密工程领域中得到了广泛的应用［１］。为了保证光路的准确性，光学元器件不但需要有很高的面形精度，而且需要精密的定位系统。以大口径空间望远镜的子镜拼接为例，在戈达德太空飞行中心研制的太空球面光学望远镜主镜［２］（ＳＰＯＴ）直径３．５ｍ，由６个对角线长０．８６ｍ的六角形子镜环状排列组成，中心无镜面。每个子镜都有倾斜、翻转和移动的自由度，ＳＰＯＴ对每个子镜的定位精度提出了很高的要求：镜面法向移动范围目标值±５ｍｍ、最小值±１ｍｍ，镜面法向移动分辨率目标值＜１０ｎｍ、最低值２０ｎｍ。镜面翻转范围±２°，镜面翻转分辨率≤０．０５ａｒｃｓｅｃ。
传统的光学元器件精密定位并联机器人使用的是球铰、万向铰链等传统的运动副作为活动关节，会引入摩擦、回程间隙和爬行等问题极大地影响并联机器人的精度。为了克服使用传统运动副引起的上述问题、减小并联机构的精度损失，柔性铰链被用来作为新型并联机器人［３－５］的运动副。天盛柔性铰链具有结构简单、无摩擦和精度高等优点，能够使系统得到很高的精度和分辨率。然而，由于柔性铰链的变形量有限，传统的全柔性铰链的并联机器人的工作空间都很小，多在立方微米级。在一些需要较大行程的应用中往往需要两级运动机构的叠加，其中一级提供较大范围的运动，另一级为微位移的柔性并联机构。这样的结构增加了系统的复杂性，提高了系统成本。为了使得柔性铰链并联机器人能够在立方厘米级的工作空间得到应用，近年来又开发了大行程的柔性并联机器人，如ＫａｎｇＤ等人［１］以光学精密定位为背景研制了一种新型的大行程柔性铰链并联机器人，该六自由度的机器人工作空间±２ｍｍ＊±２ｍｍ＊±２ｍｍ＊±２°＊±２°＊±２°，移动分辨率达到１５ｎｍ，转动分辨率为０．１４ａｒｃｓｅｃ。Ｔａｎｇ等人［６］设计并测试了具有ＸＹＺ３个自由度的柔性并联机器人，３个方向的运动相互解耦，行程达到２．３ｍｍ。经过测试，其横轴误差小于１．９％，移动引起转角小于１．５ｍｒａｄ。
以光学元器件的精密定位为应用背景，研究大行程柔性铰链Ｈｅｘａｐｏｄ机构参数优化设计方法。柔性铰链的性能很大程度上决定了大行程柔性铰链Ｈｅｘａｐｏｄ机构的性能。同样构型的柔性铰链，行程越大其离轴刚度越低，从而导致大行程全柔性铰链Ｈｅｘａｐｏｄ机构整体的静刚度和精度下降。以满足动平台工作空间要求前提下柔性铰链的变形量最小为优化目标，优化设计大行程全柔性铰链Ｈｅｘａｐｏｄ机构的结构参数。
１运动学逆解
１．１参数设定
为了简化研究，建立柔性铰链Ｈｅｘａｐｏｄ机构的伪刚体模型。将支杆与动平台之间的柔性铰链假设为带转动刚度的球铰，支杆与动平台之间的柔性铰链假设为带转动刚度的万向铰，移动关节包括直线致动器与柔性直线导向机构。简化Ｈｅｘａｐｏｄ机构如图１所示。上方的平台为动平台，下方的平台为定平台。为了方便分析，按图１所示建立定平台上的坐标系Ａ（Ｘ，Ｙ，Ｚ）、动平台上的坐标系Ｂ（Ｕ，Ｖ，Ｗ）及分别对各支链ｉ建立用ＤＨ方法建立坐标系（ｒｉ－ｊ，ｓｉ－ｊ，ｔｉ－ｊ），其中，ｊ＝０，１，２…６。坐标系（ｒｉ－０，ｓｉ－０，ｔｉ－０）与坐标系（ｒｉ－６，ｓｉ－６，ｔｉ－６）分别与坐标系Ａ，Ｂ相对固定，ｔｉ－０方向为初始状态下ｒｉ－０与Ｚ轴叉乘乘积方向：ｔｉ－０＝ｒｉ－０×ｚ‖ｒｉ－０×ｚ‖（１）支链ｉ的ＤＨ参数如表１所示。
ｌ为连杆两端关节运动副轴线之间的公垂线长度；α为连杆两端的关节轴线在该连杆长度的法平面内投影的夹角；ｄ为相邻连杆的距离；θ为相邻连杆的夹角。初始状态时各关节参数为［０°，－９０°，ｄｉ０，－９０°，－９０°，０°］，ｄｉ０为初始状态的支链长度。代入ＤＨ矩阵的计算公式，分别计算得到各连杆的齐次变换矩阵ｋＡｉｌ（支链ｉ中ｌ坐标系在ｋ坐标系中的表示）。
１．２求解柔性铰链转角
求解关节转角的过程类似于六自由度的串联型机械臂求逆解的过程。将ｋＡｉｌ中的旋转阵用ｋＲｉｌ表示，ＡＡＢ表示动平台相对于定平台的齐次变换矩阵。ｉ支链杆长方向与ｔｉ－２方向相同：
考虑到θｉ－２的初始位置姿态值为－９０°且柔性机器人关节转角均较小。因此，有－π≤θｉ－２≤０。可以求得：
与动平台相对固定的向量ｔｉ－６在坐标系Ｂ中表示为Ｂｔｉ－６，下式中Ｂｉ０表示初始位置姿态时点Ｂｉ在Ａ坐标系的坐标。
可以用上面的结果表示支链ｉ整体的旋转矩阵ＡＲｉ６＝［ｒｉ－６，ｓｉ－６，ｔｉ－６］。由上式可以得到Ｒｉ０＝［ｒｉ－０，ｓｉ－０，ｔｉ－０］，即可求得６Ｒｉ０。同时也由各个关节的旋转矩阵计算支链ｉ整体的旋转矩阵为：０Ｒｉ６＝０Ｒｉ１１Ｒｉ２２Ｒｉ３３Ｒｉ４４Ｒｉ５５Ｒｉ６（９）０Ｒｉ２可由θｉ－１，θｉ－２求得。将已知的旋转阵移至上述等式的左侧得：２ＲｉＴ３０ＲｉＴ２０Ｒｉ６＝３Ｒｉ４４Ｒｉ５５Ｒｉ６（１０）上式左侧所有的矩