江苏省南通中学2012-2013学年高三（上）期中数学试卷（理科）(含解析).doc

2012-2013学年江苏省南通中学高三（上）期中数学试卷（理科）

一、填空题（每小题5分，共70分）
1．（5分）已知集合A={x||x﹣3|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，则A∩B={4}．

考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，解|x﹣3|≤1可得2≤x≤4，即可得集合A，解x2﹣5x+4≥0可得集合B，由交集的定义，即可得答案．解答：解：根据题意，对于集合A，|x﹣3|≤1⇔2≤x≤4，则A={x|2≤x≤4}，
对于集合B，由x2﹣5x+4≥0⇔x≤1或x≥4，则B={x|x≤1或x≥4}，
则A∩B={4}，
故答案为{4}．点评：本题考查集合交集的计算，关键是正确解出不等式，得到集合A、B．
2．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3．

考点：四种命题．专题：综合题．分析：若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，根据否命题的定义给出答案．解答：解：：根据四种命题的定义，
命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”
故答案为：若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3点评：本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本题的关键．
3．（5分）已知，则=．

考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣
故答案为：﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．
4．（5分）函数y=x﹣2lnx的单调减区间为（0，2）．

考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x﹣2lnx的导数，再解不等式f′（x）＜0，可得出函数的单调减区间．解答：解：求出函数f（x）=x﹣2lnx的导数：

而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间
由f′（x）＜0，得（0，2）
因为函数的定义域为（0，+∞）
所以函数的单调减区间为（0，2）
故答案为：（0，2）点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，在做题时应该避免忽略函数的定义域而导致的错误．
5．（5分）已知||=，||=3，和的夹角为45°，若向量（λ+）⊥（+λ），则实数λ的值为．

考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先利用两个向量的数量积的定义求出•的值，再由两个向量垂直的性质可得（λ+）•（+λ）=0，解方程求得实数λ的值．解答：解：∵已知||=，||=3，和的夹角为45°，
∴•=•3cos45°=3．
由向量（λ+）⊥（+λ），可得（λ+）•（+λ）=0，即λ+（λ2+1）+λ=0，
即2λ+3（λ2+1）+9λ=0，解得λ=，
故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．
6．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2012）﹣f（2013）=．

考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0；对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），可得函数的周期为4，由此可得结论．解答：解：由题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0
∵对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），∴函数的周期为4，∴f（2012）=f（4×503）=f（0）=0
∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，∴f（﹣1）=，∴f（1）=﹣
∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=﹣
∴f（2012）﹣f（2013）=
故答案为：点评：本题考查函数的奇偶性与周期性，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（5分），设{an}是正项数列，其前n项和Sn满足：4Sn=（an﹣1）（an+3），则数列{an}的通项公式an=2n+1．

考点：数列的概念及简单表示法．分析：把数列仿写一个，两式相减，合并同类型，用平方差分解因式，约分后得到数列相邻两项之差为定值，得到数列是等差数列，公差为2，取n=1代入4Sn=（an﹣1）（an+3）得到首项的值，写出通项公式．解答：解：∵4Sn=（an﹣1）（an+3），
∴4sn﹣1=（an﹣1﹣1）（an﹣1+3），
两式相减得整理得：2an+2an﹣1=an2﹣an﹣12，
∵{an}是正项数列，
∴