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用定积分求面积的技巧
求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.
一、巧选积分变量
求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.
求抛物线与直线围成的平面图形的面积．
解析：如图1，解方程组得两曲线的变点为．

方法一：选取横坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即．
方法二：选取纵坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即．
点评：从上述两种解法可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y积分时，积分函数应是，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.
二、巧用对称性
在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段.
例2求由三条曲线所围图形的面积.

解析：如图2，因为是偶函数，根据对称性，只算出轴右边的图形的面积再两倍即可．

解方程组和得交点坐标．
方法一：选择为积分变量，
则．
方法二：可以选择y为积分变量，求解过程请同学们自己完成.
点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.

三、分割计算
例3求由抛物线及其在点和点处两条切线所围成的图形的面积．
解析：由，得，
，过点的切线方程为；
，过点的切线方程为．
又可求得两切线交点的横坐标为，
故所求面积．
点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x轴垂线，
将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法.

求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．
一、两个常用公式
公式一：由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与y＝0所围成的曲边梯形的面积A为
A＝．
特别地，⑴当f(x)≥0时(如图1)，A＝；
⑵当f(x)≤0时(如图2)，A＝－；
⑶当f(x)有正有负时(如图3)，A＝－．
公式二：由连续曲线y＝f(x)，y＝g(x)，f(x)≥g(x)及直线x＝a，x＝b所围成的图形(如图4)的面积A为
A＝．
二、应用举例
例1由y＝x3，x＝0，x＝2，y＝0围成的图形面积．
分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决．
解：⑴如图1，由公式1，得
S＝＝．
评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起．
例2⑴由曲线y＝x2，y2＝x所围成图形的面积．
⑵由y＝x2－1，y＝x，y＝在第一象限所围成图形的面积．
分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分．
解：⑴如图2，所求面积为阴影部分．
解方程组，得交点(0，0)，(1，1)，由公式2，得
S＝＝．
⑵如图3，解方程组和，
得x＝0，x＝1＋(负的舍去)，x＝4．
由公式2，得图形面积
S＝＋
．