用定积分求面积的技巧.doc

用定积分求面积的技巧求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.一、巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.求抛物线与直线围成的平面图形的面积．解析：如图1，解方程组得两曲线的变点为．方法一：选取横坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即．方法二：选取纵坐标为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即．点评：从上述两种解法可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y积分时，积分函数应是，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.二、巧用对称性在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段.例2求由三条曲线所围图形的面积.解析：如图2，因为是偶函数，根据对称性，只算出轴右边的图形的面积再两倍即可．解方程组和得交点坐标．方法一：选择为积分变量，则．方法二：可以选择y为积分变量，求解过程请同学们自己完成.点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.三、分割计算例3求由抛物线及其在点和点处两条切线所围成的图形的面积．解析：由，得，，过点的切线方程为；，过点的切线方程为．又可求得两切线交点的横坐标为，故所求面积．点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x轴垂线，将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法.求平面图形围成的面积是定积分重要应用之一，下面介绍求面积的两个常用公式及其应用．一、两个常用公式公式一：由连续曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与y＝0所围成的曲边梯形的面积A为A＝．特别地，⑴当f(x)≥0时(如图1)，A＝；⑵当f(x)≤0时(如图2)，A＝－；⑶当f(x)有正有负时(如图3)，A＝－．公式二：由连续曲线y＝f(x)，y＝g(x)，f(x)≥g(x)及直线x＝a，x＝b所围成的图形(如图4)的面积A为A＝．二、应用举例例1由y＝x3，x＝0，x＝2，y＝0围成的图形面积．分析：先画出图象，利用公式1转化为定积分问题即可解决．解：⑴如图1，由公式1，得S＝＝．评注：注意定积分与利用定积分计算曲线围成图形的面积区别．定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．一般情况下，借助定积分分别求出每一部分曲边梯形的面积，然后将它们加在一起．例2⑴由曲线y＝x2，y2＝x所围成图形的面积．⑵由y＝x2－1，y＝x，y＝在第一象限所围成图形的面积．分析：先画图象找出范围，利用公式2，用积分表示，再求积分．解：⑴如图2，所求面积为阴影部分．解方程组，得交点(0，0)，(1，1)，由公式2，得S＝＝．⑵如图3，解方程组和，得x＝0，x＝1＋(负的舍去)，x＝4．由公式2，得图形面积S＝＋．