第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法.ppt

课程教学内容：
第一章绪论
第二章塑性成形分析的理论基础
第三章有限元法基本概念
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
第六章几种通用有限元分析软件介绍（ANSYS、MARC、ABAQUS）
第七章几种典型材料成形过程计算机模拟分析实例
刚塑性有限元法是在1973年提出来的，这种方法虽然也基于小应变的位移关系，但忽略了材料塑性变形时的弹性变形部分，而考虑了材料在塑性变形时的体积不变条件。
它可用来计算较大变形的问题，所以近年来发展迅速，现已广泛应用于分析各种金属塑性成形过程。
刚塑性有限元法的理论基础是变分原理，它认为在所有动可容的速度场中，使泛函取得驻值的速度场是真实的速度场。根据这个速度场可以计算出各点的应变和应力。

泛函是函数的函数;
在泛函进行变分时根据其有无附加条件而分为一般变分和
广义变分或条件变分；
广义变分又分为不完全广义变分和完全广义变分。
对于实际的金属成形加工过程，弹性变形部分远小于塑性变形部分
(弹性应变与塑性应变之比通常在1/100～1/1000)，因而可忽略弹
性变形，将材料模型简化为刚塑性模型。
采用刚塑性模型可大大简化有限元列式和求解过程。
与弹塑性有限元法相比较，可采用较大的时间增量步长。在保证足
够的工程精度的前提下，可提高计算效率。由于刚塑性有限元法采用率方程表示，材料变形后的构形可通
过在离散空间对速度的积分而获得，从而避开了应变与位移之
间的几何非线性问题。
由于忽略了弹性变形，刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的
分析，不能直接分析弹性区的变形和应力状态，也无法处理卸
载和计算残余应力与变形。
由于刚塑性模型假设，对一般的体积不可压缩材料，因为其静
水压力与体积应变率无关，如要计算应力张量，还必须进行应
力计算的处理。从数学的角度来讲，有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的基本思想是：在整个求解区域内要解某一微分方程很困难(即求出原函数)时，先用适当的单元将求解区域进行离散化，在单元内假定一个满足微分方程的简单函数作为解，求出单元内各点的解；然后，再考虑各单元间的相互影响，最后求出整个区域的场量。
刚塑性有限元法的求解过程
(1)离散化处理；
(2)单元分析的基础上集合成总体方程组；
(3)刚塑性有限元法集合成的总体方程组为一非线性方程组，还须
线性化处理并采用迭代方法求解。刚塑性有限元法按照处理方法的不同分成如下5种：
(1)流函数法；
(2)拉格朗日乘子法；
(3)罚函数法；
(4)泊松系数v接近0.5法；
(5)材料可压缩性法。5.1.1刚塑性材料基本假设
对于大变形金属塑性成形问题，将变形体视为刚塑性体，即把变形中的某些过程理想化，便于数学上处理。此时，材料应满足下列假设：
(1)不计材料的弹性变形；
(2)材料的变形流动服从Levy-Mises流动法则；
(3)材料是均质各向同性体；
(4)材料满足体积不可压缩性；
(5)不计体积力与惯性力；
(6)加载条件(加载面)给出刚性区与塑性区的界限。5.1.2第一变分原理

刚塑性材料的第一变分原理又称为马尔柯夫(Markov)变分原理,其为：
在满足：
(1)速度-应变速率关系

(在上)
的一切动可容场，中使泛函：

的变分为零，即：，且取极小值的，必为本问题的真实解。

证明：设真实解为和，而许可解
由屈服条件和本构方程有：

(a)
则有：

由最大塑性功原理，有：
(b)

由虚功率原理得：
(c)

将(c)式代人(b)式得：
(d)
注意，在Su上。将(d)式代人(e)式有：
(e)
将(a)式代人(e)式有：
(f)

即：

因此，泛函取最小值，

于是第一变分原理得证5.1.3完全广义变分原理
在第一变分原理中，所选择的速度场必须满足(1)，(2)和(3)式，
实际问题中，有些条件比较容易满足，而有些条件则不易满足。
为了容易选择速度场，应用条件变分的概念，引用拉格朗日
(Lagrangian)乘子，和，将运动许可解所必须满足的
条件引入泛函中，则得到新的泛函：

(*)

在任意选取的、中，真实解使(*)式的泛函取驻值，这就是刚塑性
完全广义变分原理。
第一变分原理和完全广义变分原理对比

第一变分原理所选择的和只要求满足运动许可条件，而静力许可条件是通过变分近似满足的。
据广义变分原理预选的和不受任何约束，所有的方程均由变分近似满足。所以，由第一变分原理计算的近似解较广义变分原理得到的解更精确。但前者在预选满足运动许可条件的速度场时比后者困难。5.2.3不完全广义变分原理
在选取运动许可解和时，可将其应满足的三个条件中的任意两个或一个事先得到满足，而将其余的一个或两个，通过拉格朗日乘子引入泛函中，组成新的泛函，真实解使泛函取驻值，这就是不完全广义变分原理。