第3章 空间向量与立体几何 §3.1.2 空间向量的数乘运算.doc

§3．1.2空间向量的数乘运算

知识点一空间向量的运算
已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体.
(1)化简
(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点,设,试求α,β,γ的值.

解(1)方法一取AA′的中点为E,则

又取F为D′C′的一个三等分点(D′F=D′C′),则D′F=
∴++=++=
方法二取AB的三等分点P使得,
取CC′的中点Q,则++=

(2)
=
==
∴α＝eq\f(1,2)，β＝eq\f(1,4)，γ＝eq\f(3,4).
【反思感悟】化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时可转化为加法，也可按减法进行运算．本题第一问是开放式的表达式，形式不唯一，有多种解法．

如图所示,平行六面体A1B1C1D1-ABCD，
M分成的比为eq\f(1,2)，N分eq\o(A1D,\s\up6(→))成的比为eq\f(1,2)，N分eq\o(A1D,\s\up6(→))成的比为2，设＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，试用a、b、c表示，

解
=
＝－eq\f(1,3)(a＋b)＋c＋eq\f(2,3)(－c＋b)
＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c
知识点二共线问题

设空间四点O，A，B，P满足其中m+n=1，则（）
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D.与eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AP,\s\up6(→))的方向一定相同
答案A
解析已知m+n=1，则
因为≠0.所以和共线，即点A，P，B共线，故选A.
【反思感悟】（1）考察点P是否在直线AB上，只需考察与是否共线；
（2）解决本题的关键是利用条件m+n=1把证明三点共线问题转化为证明与是否共线.
已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，
求α+β的值.
解∵A、B、P三点共线，由共线向量知，
存在实数t，使=t
由=，=代入得：
；
又由已知，∴α＝1－t，β＝t，∴α＋β＝1.
知识点三共面问题

已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH.
证明(1)由已知得EF綊HG，

∴
∵,不共线，
∴共面且有公共点G，
∴E，F，G，H四点共面.
（2）

∵与不共线，
∴eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(EG,\s\up6(→))，eq\o(GH,\s\up6(→))共面．
由于BD不在平面EFGH内，所以BD∥平面EFGH.
【反思感悟】利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练的进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．

用向量法证明：空间四边形ABCD的四边中点M，N，P，Q共面．

证明△AMQ中,
=
CNP中,=
所以,所以M,N,P,Q四点共面.
课堂小结：
1．向量共线的充要条件及其应用
(1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a∥b时，也具有同样的意义．
(2)“共线”这个概念具有自反性a∥a，也具有对称性，即若a∥b，则b∥a.
(3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上．
＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或＝μeq\o(AC,\s\up6(→))即可．也可用“对空间任意一点O，有eq\o(OB,\s\up6(→))＝teq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－t)eq\o(OC,\s\up6(→))”来证明三点共线．
2．向量共面的充要条件的理解
＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有