高中数学复习学(教)案(第54讲)直线与平面垂直和平面与平面垂直.doc

题目第九章(B)直线、平面、简单几何体
直线与平面垂直和平面与平面垂直
高考要求
1理解直线和平面垂直的概念掌握直线和平面垂直的判定定理；
2掌握三垂线定理及其逆定理
3掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理
4通过例题的讲解给学生总结归纳证明线面垂直的常见方法：（1）证直线与平面内的两条相交直线都垂直；（2）证与该线平行的直线与已知平面垂直；（3）借用面面垂直的性质定理；（4）同一法；⑸向量法
知识点归纳
1线面垂直定义：
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足
直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α
2直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
3直线和平面垂直的性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行
4三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
（2）推理模式：
5．三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直
推理模式：．
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用
6两个平面垂直的定义：
两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面
7．两平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
推理模式：，．
8．两平面垂直的性质定理：
若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
推理模式：
9向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法：
①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行；
②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直
题型讲解
例1已知直线a⊥平面，直线b⊥平面，O、A为垂足
求证：a∥b
证明：以O为原点直线a为z轴，建立空间直角坐标系，为坐标向量，直线a、b的向量分别为
设=（x，y，z），
∵b⊥，
∴，，
∴=（0，0，z）=z
∴，∴a∥b
点评：因证明两直线平行，也就是证明其方向向量共线，所以，利用两向量共线的充要条件证明两直线平行是新教材基本的数学方法，应做到熟练运用
例2已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC
证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC
而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC
又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE
∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC
点评：证明直线与平面垂直的常用方法有：利用线面垂直的定义；利用线面垂直的判定定理；利用“若直线a∥直线b，直线a⊥平面α，则直线b⊥平面α”
例3在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，
求证：A1B⊥B1C
证明：取A1B1的中点D1，连结C1D1
∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A1
连结AD1，则AD1是AC1在平面ABB1A1内的射影，
∵A1B⊥AC1，
∴A1B⊥AD1
取AB的中点D，连结CD、B1D，
则B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1内的射影
∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C
点评：证明异面直线垂直的常用方法有：证明其中一直线垂直于另外一直线所在的平面；利用三垂线定理及其逆定理
例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点
（1）求证：AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角；（3）证明平面AED⊥平面A1FD1
分析：涉及正方体中一些特殊的点、线、面的问题，建立空间直角坐标系来解，不仅容易找到解题方向，而且坐标也简单，此时“垂直”问题转化为“两向量数量积为0”的问题，当然也可用其它的证法
证明：建立空间直角坐标系如图，并设AB=2，
则A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)
D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)
(1)
=0×1+2×1+0×(-2)=0,AD⊥D1F
（2）=（2，0，1）=（1，0，-2），|，|
设AE与D1F的夹角为θ，则
cosθ=
所以，直线AE与D1F所成的角为90°
（3）由（1）知D1F⊥AD，
由（2）知D1F⊥AE，
又AD∩AE=A，D1F⊥平面AED，
∵D1F平面A1FD1M
平面AED⊥平面A1FD1
例5如图，已知是圆的直径，垂直于所在的平