偏微分方程的MATLAB解法.docx

引言
偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLABPDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。
偏微分方程
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
一、MATLAB方法简介及应用

1.1MATLAB简介
MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
1.2Matlab主要功能
数值分析
数值和符号计算
工程与科学绘图
控制系统的设计与仿真
数字图像处理
数字信号处理
通讯系统设计与仿真
财务与金融工程
1.3优势特点
1)高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来；
2)具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化；
3)友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握；
4)功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等)，为用户提供了大量方便实用的处理工具。
1.4MATLAB产品族可以用来进行以下各种工作
●数值分析
●数值和符号计算
●工程与科学绘图
●控制系统的设计与仿真
●数字图像处理技术
●数字信号处理技术
●通讯系统设计与仿真
●财务与金融工程
●管理与调度优化计算（运筹学）
MATLAB的应用范围非常广，包括信号和图像处理、通讯
MATLAB在通讯系统设计与仿真的应用、控制系统设计、测试和测量、财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域。附加的工具箱（单独提供的专用MATLAB函数集）扩展了MATLAB环境，以解决这些应用领域内特定类型的问题。
二、Laplacian算子简介
Laplacian算子：

Poisson方程(ellipptic)：

Laplacian算子的特征值问题：
Heatequation(parabolic):
Waveequation(hyperbolic):

五点离散:

Poisson方程离散：

特征值问题：

热方程：

波动方程：

波动方程：

椭圆方程：

特征值方程：

热方程：
波动方程：

热方程：
波动方程：

三、Matlab解偏微分方程
解偏微分方程不是一件轻松的事情，但是偏微分方程在自然科学和工程领域应用很广，因此，研究解偏微分方程的方法、开发解偏微分方程的工具是数学和计算机领域中的一项重要工作。MATLAB提供了专门用于解二维偏微分方程的工具箱，使用这个工具箱，一方面解偏微分方程，另一方面，可以让我们学习如何把求解数学问题的过程与方法工程化。应当承认，我们国家在数学软件的开发方面还比较落后，MATLAB是当今世界上最好的数学软件之一，通过对这个软件的认识，有助于研发我们自己的数学软件。MATLAB的偏微分方程工具箱名字叫pdetool，它采用有限元法解偏微分方程。用这个工具箱可以解如下方程。
椭圆方程
抛物线方程
双曲线方程
特征值方程
所有的方程都在二维平面Ω域上。方程中，▽是Laplace算子，u是待解的未知函数，c,a,f是已知的实值标量函数，d是已知的复值函数，λ是未知的特征值。
MATLAB提供了两种方法Ⅲ解决PDE问题，一是pdepe函数，它可以求解一般的PDEs，具有较大的通用性，但只支持命令行形式调用。二是PDE工具箱，可以求解特殊PDE问题，但有较大的局限性，比如只