气体分子平均自由程.docx

§3.6气体分子平均自由程

气体的输运过程来自分子的热运动。气体分子在运动过程中经历十分频繁的碰撞。碰撞使分子不断改变运动方向与速率大小，使分子行进了十分曲折的路程.碰撞使分子间不断交换能量与动量。而系统的平衡也需借助频繁的碰撞才能达到。本节将介绍一些描述气体分子间碰撞特征的物理量：碰撞截面、平均碰撞频率及平均自由程。

§3.6.1碰撞（散射）截面

图3.10是对分子碰撞过程较为直观而又十分简单的定性分析，在分析中假定两分子作的是对心碰撞。

图3.10两分子做对心碰撞
实际上两分子作对心碰撞概率非常小,大量发生的是非对心碰撞。下面讨论非对心碰撞。图3.11表B分子（均视作重点）平等射向静止的A分子时，B分子的轨迹线，A分子的重心在O。

图3.11碰撞截面
由图可见，B分子在接近A分子时受到A的作用而使轨迹线发生偏折.若定义B分子射向A分子时的轨迹线与离开A分子时的轨迹线间的交角为偏折角。则偏折角随B分子与O点间垂直距离b的增大而减小.令当b增大到偏折角开始变为零时的数值为d,则d称为分子有效直径。由于平行射线束可分布O的四周，这样就以O为圆心“截”出半径为d的垂直于平行射线束的圆。所有射向圆内区域的视作质点的B分子都会发生偏折，因而都会被A分子散射。所有射向圆外区域的B分子都不会发生偏折，因而都不会被散射。故该圆的面积为分子散射截面，也称分子碰撞截面。
在碰撞截面中最简单的情况是刚球势。这时，不管两个同种分子相对速率多大，分子有效直径总等于刚球的直径.对于有效直径分别为d1、d2的两刚球分子间的碰撞，其碰撞截面为
（3.25）
对刚性分子碰撞截面可形像化地比喻为古代战争用的盾牌，而被碰撞的其它视为质点的B分子可比喻为箭。

§3.6.2分子间平均碰撞频率

研究气体分子之间的碰撞时，我们更关心的是单位时间内一个分子平均碰撞了多少次，即分子间的平均碰撞频率.在上一节讨论碰撞截面时假定视作盾牌的被碰撞的A分子静止，视作质点的B分子相对A运动，去碰撞A.现在反过来，认为所有其它分子都静止，而A分子相对于其它分子运动，显然A分子的碰撞截面这一概念仍适用.这时A分子可视为截面积的一个圆盘，圆盘沿圆盘中心轴方向以速率运动.这相当于一盾牌以相对速率v12向前运动，而“箭”则改为悬浮在空间中的一个个小球。圆盘每碰到一个视作质点的其它分子就改变运动方向一次，因而在空间扫出如图3.12那样的其母线呈折线的“圆柱体”。

图3.12分子碰撞频率
只有那些其质心落在圆柱体内的分子才会与A发生碰撞。例如图中的B和C分子的质心都在圆柱体内，它们都使A分子改变运动方向，而图中其它分子的质心均在圆柱体外，它们都不会与A相碰撞。单位时间内A分子所扫出的“圆柱体”中的平均质点数，就是分子的平均碰撞频率
（3.26）
其中n是气体分子数密度，是A分子相对于其它分子运动的平均速率。对于同种气体，。其证明见例3.10。因而处于平衡态的化学纯理想气体中分子平均碰撞频率为
（3.27）
其中。因为
故（3.27）式也可改写为
（3.28）
说明在温度不变时压强越大（或在压强不变时，温度越低）分子间碰撞越频繁。

[例3.9]估计在标准状况下空气分子的平均碰撞频率。

[解]可求得标准状况下空气分子平均速率为446，洛施密特常量为[见（1.16）式]设空气分子有效直径为3.5×10-10m，将它们代入（3.27）式，可得
（3.29）
说明分子间的碰撞十分频繁，一个分子一秒钟内平均碰撞次数达109数量级。
[例3.10]设处于平衡态的混合理想气体由“1”与“2”两种分子组成，“1”分子与“2”分子的平均速率分别为，试用近似证法求出“1”分子相对于“2”分子运动的相对运动平均速率，并证明对于纯气体，分子间相对运动的平均速率，其中为该纯气体的分子相对于地面运动的平均速率.
[解]因为相对运动速率是相对速度矢量的大小（即绝对值），故

而相对速度矢量可写为v12=v2-v1.其中v2与v1是从地面坐标系看“2”及“1”分子的速度矢量，故

在等式两边取平均
（3.30）
其中表示一个分子的速度在另一个分子速度方向上的投影的平均值，设v2、v1间夹角为，则

考虑到理想气体分子的速度的大小与方向是相对独立的，的乘积的平均值应等于其平均值的乘积。用球坐标可以证明，这一偶函数的平均值为零，故

这时（3.30）式可写成
利用近似条件
~~~
上式又可写为
(3.31)
这一公式也可用于混合理想气体中异种分子之间的平均相对运动速率的计算，这时其中的分别是这两种气体分子的平均速率。对于同种气体
（3.32）

*§3.6.3气体分子间相对运动速率分布

前面我们在讨论气体分子碰撞频率时，认为其它分子都不动，只有某一分子在运动。实际上所有分子都在运动。所以坐标系应取在其中某个分