浅谈高等代数在中学的应用.doc

浅谈高等代数在中学的应用

数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学
学号：2011031532朱伟达指导老师：卢明先

【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．
【关键词】行列式;齐次线性方程组;二次型;矩阵;向量

DiscussiononApplicationofHigherAlgebrainmiddleschool

ZHUwei-da2011031532Advisor:LUming-xian
PureandAppliedMathematicsCollegeofMathematicsandComputerScience

【Abstract】:Linearalgebraisabranchofmathematics.Itisamathematicalfoundationcourse.Inrecentyears,somecontentofhighermathematicsarebeguntolearnbymiddleschoolstudents.AndLinearalgebrahasalsowideapplicationinelementarymathematics.Thispaperisdividedintofiveparts.Intheseparts,wewillgivealotofexamplestoshowsomeapplicationsofdeterminant,Linearequations,quadratictheory,matrixandtransform,vectorinelementarymathematics.
【Keywords】:determinanthomogeneouslinearsystemquadraticformmatrixvector.

引言:线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂．作为高等学校基础课，除了作为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用，他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视．可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识．学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现．本文在阐述一些重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力．
第1章行列式在中学数学中的应用
随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注,行列式是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的。行列式是线性代数的基本工具,有许多的应用。这里结合中学数学着重探讨行列式的应用。本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用.
1.1用行列式证明等式
利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其结果相等而得到等式的证明.
例1已知，求证.
证明：令，则
，
即
例2已知，，，求证：.
证明：令，则有
.
例3在中，求证.
证明由于

所以，在中，成立.
例4求证：.
证明：因为

又，
故

1.2用行列式分解因式
由行列式的定义，.由此启发，我们可以把一个代数式看成两个式子的差，而每个式子又可以看成两个因式的乘积，即(均为代数式)，于是.由此即可根据行列式的性质，对某些多项式进行因式分解.
例1分解因式.
解：

.
例2将分解因式.
解：
.
例3分解因式.
解：
.
利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则.

1.3行列式在解析几何中的应用

定理1（1）以平面内三点为顶点的的面积
的绝对值.
（2）通过两点的直线方程为.
例求过点和点的直线的方程.
解由，得直线的方程为.
（3）平面内三条直线.
相较于一点或互相平行的充要条件是：.
推论平面上三点在一条直线上的充要条件是.
定理2通过平面上三点的圆的方程为
.
例1平面上给出三个两两相交的圆，每两个圆有一条根轴，则三条根轴互相平行或交于一点.
证明：设三个圆的方程分别为.两两相减得三条交线正是所述三条根轴，它们所在的直线方程为

三条直线方程的系数行列式为

故三直线平行或相较于一点.
本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面积定理求解