矩阵论广义逆矩阵.doc

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第六章广义逆矩阵
当A是n阶方阵，且detA≠0时，A的逆矩阵才存在，此时线性方程组Ax=b的解可以简洁地表示为x=．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述．
1920年，E.H.Moore首先以比较抽象的形式给出了广义逆矩阵的概念，由于不知道它的应用，所以一直未受到重视．直到1955年R.Penrose利用四个矩阵方程给出广义逆矩阵的更简便实用的定义后，它才引起普遍关注，并得到迅速发展．目前，广义逆矩阵已形成了一套既系统又完整的理论，并在许多学科得到广泛的应用．
§6.1广义逆矩阵的概念
定义6.1设A∈，如果X∈满足下列四个Penrose方程
(1)AXA=A；
(2)XAX=X；
(3)；
(4)
的某几个或全部，则称X为A的广义逆矩阵，满足全部四个方程的广义逆矩阵X称为A的Moore-Penrose逆．
显然，如果A是可逆矩阵，则满足四个Penrose方程．
按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个Penrose方程的广义逆矩阵，一共有类．
以下定理表明，Moore-Penrose逆是存在并且惟一的，从而上述的15类广义逆矩阵都是存在的．
定理6.1设，则A的Moore-Penrose逆存在且惟一．
证设rankA＝r．若r＝0，则A是m×n零矩阵，可以验证n×m零矩阵满足四个Penrose方程．若r>0，由定理4．19知，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V使得

其中∑=diag，而是A的非零奇异值．记

则易验证X满足四个Penrose方程，故A的Moore-Penrose逆存在．
再证惟一性．设X，Y都满足四个Penrose方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)

从而A的Moore-Penrose逆是惟一的．
证毕
需要指出的是只要A不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的．
定义6.2设，若满足Penrose方程中的第(i)，(j)，…，(l)等方程，则称X为A的{i，j，…，l}-逆，记为，其全体记为A{i，j，…，l}．A的惟一的Meore-Penrose逆记为，也称之为A的加号逆．
在上述15类广义逆矩阵中，应用较多的是以下5类：
A{1}，A{1，2}，A{1，3}，A{1，4}，
由于{1}-逆是最基本的，而惟一且同时包含在15类广义逆矩阵集合中，所以与在广义逆矩阵中占有十分重要的地位．以下主要对这两类广义逆矩阵进行讨论．
§6.2{1}-逆及其应用
一、{1}-逆的计算及有关性质
利用定理4.14的结果可以方便地求出{1}-逆．
定理6.2设(r>0)，且有和n阶置换矩阵P使得

则对任意矩阵

是A的{1}-逆；当L=O时，X是A的{1，2}-逆．
证因为

容易验证，由式(6.1)给出的矩阵X满足AXA=A．所以X∈A{1}．
当L=O时，易知式(6.1)的矩阵X还满足XAX=A，故X∈A{1，2}．
证毕
需要指出的是，式(6.1)中矩阵L任意变化时，所得到的矩阵X并非是满足AXA=A的所有矩阵，即只是A{1}的一个子集．
例6．1已知矩阵，求．
解4．8已求得
，
使得

从而由式（6．1），得

利用等价标准形可以求出{1}-逆的全体．
定理6．3设，且和使得

则
，
（6．2）

证可知

令X=TS．直接验证知AXA=A，即X∈A{1}．反之，若X∈A{1}，
可设

由AXA=A，得

当，而，和为适当阶的任意矩阵时，上式成立．故式(6．2)右边给出了A的所有{1}-逆．
证毕
推论设，则A有惟一{1}-逆的充分必要条件是m=n，且rankA=n，即A可逆．这个惟一的{1}-逆就是．
下面定理给出了{1}-逆的一些性质．
定理6．4设，，则
(1)，；
(2)，
其中λ∈C，且
（6．3）
(3)当，时，有；
(4)；
(5)；
(6)的充分必要条件是rankA=m；
(7)的充分必要条件是rankA=n．
证(1)～(3)由定义直接得到；
(4)rankA＝rank；
(5)与(4)的证明类似；
(6)如果，则由(5)，得

反之，如果rankA=m．则由(5)知，=rankA=m．又是m阶方阵，从而它是可逆矩阵．注意到，两边同乘即得；
同理可证(7)．
证毕
二、{1}-逆的应用
利用{1}-逆可以求解矩阵方程及线性方程组．
定理6.5设，，．则矩阵方程AXB=D有解的充分必要条件是
(6.4)

其中，，当矩阵方程有解时