广义逆矩阵及其应用.ppt

广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵的定义2,1920年Moore广义逆定义定义3：设W是数域P上n维线性空间V的一个m维子空间为可逆方阵另外2024/9/8(3),Moore广义逆定义广义逆矩阵的求法
一、减号逆引理：设Bm×n=Pm×mAm×nQn×n其中PQ可逆，则A-=QB-P，B-=Q-A-P-
由引理可知求得Q，B-，P即可得到A的一个特定减号逆解：先对A进行行变换
10-1110010-11100
0222010011101/20
-145300100001/4-1/21/4证明：验证ＡＸＡ＝Ａ
Ｘ＝Ａ－＋Ｕ－Ａ－ＡＵＡＡ－
则A（A－+U－Ａ－ＡＵＡＡ－）Ａ
＝ＡＡ－Ａ＋ＡＵＡ－ＡＡ－ＡＵＡＡ－Ａ
＝Ａ＋ＡＵＡ－ＡＵＡ
＝Ａ
对Ｘ∈A｛１｝令Ｕ＝X－Ａ－
Ａ－＋Ｘ－Ａ－－Ａ－Ａ（Ｘ－Ａ－）ＡＡ－
＝Ｘ－Ａ－ＡＸＡＡ－＋Ａ－ＡＡ－ＡＡ－
＝Ｘ－Ａ－ＡＡ－＋Ａ－ＡＡ－
＝Ｘ则Ｘ∈｛Ａ－＋Ｕ－Ａ－ＡＵＡＡ－其中Ｕ∈Ｃｎ×ｍ｝
则原命题是正确的
同理可以证明②式是成立的二、自反减号逆例3：若A=12-1求A的自反减号逆Ar-
0-12性质3（1）设A∈Cm×nr,(r>0),则AHA是Hermit矩阵，且其特征值均是非负数
（2）rank(AHA)=rank(A)
(3)设A∈Cm×n,则A=0的充要条件是AHA=0
性质4（1）设A∈Cm×n，则A酉相似于对角阵的充分必要条件是A为正规阵
（2）设A∈Rn×n,且A的特征值都是实数，则正交相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵证明：根据性质3，AHA是Hermit矩阵，且其特征值均是非负数，
且λ1≥λ2≥….≥λr>λr+1=…=λn=0
显然，AHA是正规矩阵。根据性质4，存在n阶酉矩阵V，使得
λ1
VH（AHA）V==∑20
λn00
其中：∑2=λ1
λr由AHAV2=0,得（AV2）H(AV2)=0或AV2=0
令U1=AV1∑-1=(u1,u2,…,ur)则U1HU1=Er
根据线性代数理论知，可将两两正交的单位列向量u1,u2,…,ur扩充为Cm的标准正交基u1,u2,…,ur,ur+1…,um
记矩阵U2=（ur+1,…,um）,则
U=(U1U2)=(u1,…,ur,ur+1,…,um)是m阶酉矩阵，且U1HU1=ErU2HU2=0
于是UHAV=UH(AV1AV2)=U1HU1∑0
U2H
=U1HU1∑0=∑0
U2HU1∑000

所以A=U∑0VH所以原命题成立
00例4：求矩阵12
A=00的奇异值分解
00经计算U1=AV1∑-1=121
00=0
000
将U1扩张为R3的正交标准基
100
U=(U1U2)=010
001
则A的奇异值分解是
1000
A=U∑0VH=01000
0000100满足例5：设则可以求的则可以求得A的加号逆为：四、最小范数广义逆和最小二乘广义逆广义逆矩阵的应用以此类推故原命题成立例6：判断下列线性方程组是否相容，若是给出其解表达式则2024/9/8则2，A{1,4}与相容方程组的解所以当且仅当则谢谢！