矩阵可逆的判别方法.docx

矩阵可逆的若干判别方法
学院：数学与数量经济学院班级：数学与应用数学1班
姓名：黄新菊学号：1250411025
内容摘要：
学了这么久高等代数，从学了矩阵之后，几乎每节都离不开矩阵。矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中在这期间，可逆矩阵是贯穿其中出现的最频繁的词语。可逆矩阵是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。例如，分块矩阵的运算、二次型化为标准型再化为规范型、线性子空间、同构、矩阵线性变换、特征值与特征向量、对角矩阵等，都有用到可逆矩阵，矩阵可逆的性质，可以解决很多数学问题，是解决实际问题比较常用的工具之一。并且还可以物理、经济等各种问题。有重要的理论和实践意义。所以，研究、学习矩阵可逆的若干判别方法，还是很有必要的，有重要的意义。
关键词：
矩阵、可逆矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、初等变换、线性变换、线性子空间、判别方法。
导言：
高等代数已经学了差不多两个学期。自从开始学了矩阵，矩阵在高等代数中就起到了不可或缺的作用。前面学的多项式、行列式、线性方程组原来也是为了学习矩阵奠定了基础。而矩阵的可逆性在其中起到了非常大的作用。突然发现，在矩阵的乘法运算中，可逆矩阵就像有理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算体系中非常重要的部分。
为了更加深入了解、学习、解决处理矩阵计算体系的各种题目，我决定用“矩阵可逆的若干判别方法”为题目作为论文的题目。我在图书馆查了很长时间的资料，并且还上网百度浏览了很多有关的网页。希望可以由此更加深入理解矩阵的逆的性质、定义、判别方法等。整理了所有资料，总结了以下的矩阵的逆的判别方法。
正文
矩阵可逆的若干判别方法
首先介绍一些下面要用性质及定义。
有关矩阵的逆的定义：
定义1：级方阵称为可逆的，如果有n级方阵B，使得AB=BA=E，
这里E是级单位矩阵.即称A可逆，B为A的逆。()
定义2：设矩阵
中元素的代数余子式，矩阵
称为的伴随矩阵。
定义3：矩阵是可逆的充分必要条件是非退化，而
。
定义4：数域P上的n×n矩阵称为非退化的，如果；
否则称为退化的。
定义5：矩阵的三种初等行（列）变换：
互换某两行（列）的位置；
用非零的数乘某一行（列）；
把某一行（列）的倍数加到另一行（列）。
……
有关矩阵的逆的性质:
性质1:;
性质2:;
性质3:;
性质4:;
性质5:矩阵A与它的伴随矩阵具有相同的可逆性.即A可逆

……
矩阵可逆的若干判别方法
定义判别法
设对于阶方阵A,如果存在n阶方阵B满足条件AB=E且BA=E,就称A可逆，并且称B为A的逆，记B=。
这种方法可以直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵是可逆的。
此种方法大多适用于简单矩阵和一些非具体矩阵的判断。
eg：A=1101,求A-1.
解：取矩阵1-101，
由于11011-101=1001，1-1011101=1001。
即A-1=1-101
矩阵行列式判别法
矩阵A可逆的充分必要条件是A是方阵且A≠0（非退化）。

eg：A=2231-10-121，判断A是否可逆。
解：由于A=2231-10-121=-1≠0.则A可逆。
秩判别法
n阶矩阵A可逆的充分必要条件是矩阵A的秩为n.(r(A)=n）.
eg：设矩阵A=，判断矩阵可逆。
解：由知，矩阵A为3阶矩阵，其秩也为3.
则矩阵A=可逆。
伴随矩阵判别法
矩阵是可逆的充分必要条件是非退化，而
。
证明：当，由可知，A可逆，且。
反过来，如果A可逆，那么有使，两边取行列式，得
.因为即A非退化。
即是求可逆矩阵的公式。
eg：A=2231-10-121，判断A是否可逆。求A-1.
解：由于A=2231-10-121=-1≠0.A*=-143-1531-6-4。
则，A-1=1dA*=1-4-31-5-3-164

初等变换判别法
对矩阵A施行初等行（列）变换得到的矩阵B，则B可逆。可推知A可逆。
因为初等行列变换是等价变换，即不会改变A的秩，所以A和B秩相同，故A与B有相同的可逆性。从而B可逆可推知A可逆。
求矩阵的逆矩阵的方法AE初等行变换EA-1
AE初等列变换EA-1
初等矩阵判别法
是可逆的充分必要条件是A可以表示成一些初等矩阵的乘积：

根据⑤⑥举例
设，求。
解：

于是

上面给出用初等行变换的方法求出矩阵的逆矩阵。当然，同样可逆矩阵也能用初等列变换化成单位矩阵来求出矩阵的逆矩阵。
线性方程组判别法
齐次线性方程组即AX=0（A为该方程组的系数矩阵）只有零解。即A可逆。
非齐次线性方程组即AX=0（A为该方程组的系数矩阵）有唯一解。即A可逆。
证明：，
齐次线性方程组的系数矩阵为，用分别代表矩阵各列，。则齐次线性方程组可以写成向量形式且只有零解，则从而线性无关，且线性无关的充分必要条件是A可逆。
非齐次线性方程组的系数矩阵为，用分别代表矩阵各列