马尔可夫链理论和Monte Carlo 取样的实现.ppt

马尔可夫链理论和MonteCarlo取样的实现马尔可夫链和MonteCarlo各态历经

对所有n>nmax,所有x和x’

细致平衡
证明
考虑很多个平行的Markov链,在一个给定的某一步,有Nr个链处于第r个态,Ns个链处于第s个态.于是在下一步从r态到s态的数目为

从s态到r态的数目为

从r态到s态的净转移的数目为

若w(xr!xs)满足细致平衡条件,则上式成为

这是一个十分重要的结果,上式表明,如果二个状态之间
不满足分布P,则这一Markov过程的演化结果将总是
使其趋于满足.这样,就证明了我们的论断.

Metropolis算法(1953)ThePaper(7500citationsfrom1988to2003)TheCalculationMANIACtheComputerandtheMan正则分布的抽样方法:
选择一个满足细致平衡条件的转移几率;
产生一个Markov链,丢掉链的前而面M个状态;
用其余状态进行物理量的计算.

考虑从r态到s态的转移,若二状态的能量差为

则:

当年Metropolis选择:目前常用的另一种选择是:

应当注意的是,w的选择并不唯一,只要满足细致平衡条件的要求即可,但不同的w收敛速度往往差别很大,如何选择合适的w以达到尽可能快的收敛速度和尽可能高的计算精度仍然是当前MonteCarlo算法研究的前沿课题之一.TheIsingModel例题,Ising模型的模拟

Ising模型:

式中J称为交换积分,h为外场,si可取值(1,-1),称为自旋变量.Ising模型是最简单的非平庸统计物理模型,它是由德国物理学家Lenz在二十年代提出的,这一模型可用来描述单轴各向异性磁性系统,合金等物理体系,同时也是一个十分有兴趣的理论模型.例题,Ising模型的模拟

Ising最早给出了这一模型在一维情况下的严格解,证明了在一维下这一模型不存在相变.Onsager于1944年做出了零场下这一模型在二维空间的严格解并计算了它的相变温度,比热在相变点的行为等热力学量.杨振宁在1952年解出了外场很小时二维空间的Ising模型,求出了序参量的临界行为.由于对这一模型的很多形为目前了解的比较透彻,因此它经常被用来做为检验各种数值方法或解析近似方法的标准.感兴趣的物理量磁化率

5. Binder4阶累积量

自旋相关函数
时间相关函数2DIsing模型的比热一个算法

♦选择一个格点i,其自旋将考虑作翻转si!-si.

♦计算与此翻转相联系的能量变化H.

♦计算这一翻转的转移几率w.

♦产生一在[0,1]之间均匀分布的随机数.

♦如果<w,则翻转该自旋,否则,保持不变.不论何种情况,
其结果都作为一新的状态.

♦分析该状态,为计算平均值收集数据.有限尺寸标度与相变比热是一个强度量,

由此可以推断:

自平均效应.当系统的尺度趋于无限时,其涨落趋于0!

有限尺寸标度与相变由此,能量的分布可以写为:
Ising模型:有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变当h=0时,由于对称性,M和-M是对称的.在临界温度以上,M=0,所以有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变T»TC时的序参量分布考虑磁化率:在临界点附近有一个峰,最高处的温度定义为有限系统的临界温度Tc(L),峰宽为T.

当L!1时,Tc(L)!Tc(1),T!0磁化率的极大值:有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变Finite-SizeScalingShiftofTcAccurateExponentRatio有限尺寸标度与相变性质1:T<Tc,L>>,远离临界区域有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变证明:在临界区域,由于L<<,所以前面给出的分布失效.这里的关键假定是
做为L,S,(对应于温度)函数的P(S)实际上只是两个变量的函数.有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变有限尺寸标度与相变