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贝塞尔曲面

这篇教程旨在介绍贝塞尔曲面，希望有比我更懂艺术的人能用她作出一些很COOL的东东并
且展示给大家。教程不能用做一个完整的贝塞尔曲面库，而是一个展示概念的程序让你熟悉
曲面怎样实现的。而且这不是一篇正规的文章，为了方便理解，我也许在有些地方术语不当；
我希望大家能适应这个。最后，对那些已经熟悉贝塞尔曲面想看我写的如何的，真是丢脸；
-）但你要是找到任何纰漏让我或者NeHe知道，毕竟人无完人嘛？还有，所有代码没有象我
一般写程序那样做优化，这是故意的。我想每个人都能明白写的是什么。好，我想介绍到此
为止，继续看下文！

数学：：恶魔之音：：（警告：内容有点长~）

好，如果想理解贝塞尔曲面没有对其数学基本的认识是很难的，如果你不愿意读这一部分或
者你已经知道了关于她的数学知识你可以跳过。首先我会描述贝塞尔曲线再介绍生成贝塞尔
曲面。
奇怪的是，如果你用过一个图形程序，你就已经熟悉了贝塞尔曲线，也许你接触的是另外的
名称。它们是画曲线的最基本的方法，而且通常被表示成一系列点，其中有两个点与两端点
表示左右两端的切线。下图展示了一个例子。

这是最基础的贝塞尔曲线（长点的由很多点在一起（多到你都没发现））。这个曲线由4
个点定义，有2个端点和2个中间控制点。对计算机而言这些点都是一样的，但是特意的我
们通常把前后两对点分别连接，因为他们的连线与短点相切。曲线是一个参数化曲线，画的
时候从曲线上平均找几点连接。这样你可以控制曲线曲面的精度（和计算量）。最通常的方
法是远距离少细分近距离多细分，对视点，看上去总是很完好的曲面而对速度的影响总是最
小。
贝塞尔曲面基于一个基本方程，其他复杂的都是基于此。方程为：

t+(1-t)=1

看起来很简单不是？的确是的，这是最基本的贝塞尔曲线，一个一维的曲线。你也许从术语
中猜到，贝塞尔曲线是多项式形式的。从线性代数知，一个一维的多项式是一条直线，没多
大意思。好，因为基本方程对所有t都成立，我们可以平方，立方两边，怎么都行，等式都
是成立的，对吧？好，我们试试立方。

(t+(1-t))^3=1^3

t^3+3*t^2*(1-t)+3*t*(1-t)^2+(1-t)^3=1
这是我们最常用的计算贝塞尔曲面的方程，a)她是最低维的不需要在一个平面内的多项式
（有4个控制点），而且b)两边的切线互相没有联系（对于2维的只有3个控制点）。那
么你看到了贝塞尔曲线了吗？呵呵，我们都没有，因为我还要加一个东西。
好，因为方程左边等于1，可以肯定如果你把所有项加起来还是等于1。这是否意味着在计
算曲线上一点时可以以此决定该用每个控制点的多少呢？（答案是肯定的）你对了！当我们
要计算曲线上一点的值我们只需要用控制点（表示为向量）乘以每部分再加起来。基本上我
们要用0<=t<=1，但不是必要的。不明白了把？这里有函数：

P1*t^3+P2*3*t^2*(1-t)+P3*3*t*(1-t)^2+P4*(1-t)^3=Pnew

因为多项式是连续的，有一个很好的办法在4个点间插值。曲线仅经过P1，P4，分别当t=1,0。
好，一切都很好，但现在我怎么把这个用在3D里呢？其实很简单，为了做一个贝塞尔曲面，
你需要16个控制点，（4*4），和2个变量t,v。你要做的是计算在分量v的沿4条平行曲
线的点，再用这4个点计算在分量t的点。计算了足够的这些点，我们可以用三角带连接他
们，画出贝塞尔曲面。

恩，我认为现在已经有足够的数学背景了，看代码把！

#include<math.h>//数学库
#include<stdio.h>//标准输入输出库
#include<stdlib.h>//标准库

typedefstructpoint_3d{//3D点的结构
doublex,y,z;
}POINT_3D;

typedefstructbpatch{//贝塞尔面片结构
POINT_3Danchors[4][4];//由4x4网格组成
GLuintdlBPatch;//绘制面片的显示列表名称
GLuinttexture;//面片的纹理
}BEZIER_PATCH;

BEZIER_PATCHmybezier;//创建一个贝塞尔曲面结构
BOOLshowCPoints=TRUE;//是否显示控制点
intdivs=7;//细分精度，控制曲面的显示精度

以下是一些简单的向量数学的函数。如果你是C++爱好者你可以用一个顶点类（保证其为
3D的）。

//两个向量相加，p=p+q
POINT_3DpointAdd(POINT_3Dp,POINT_3Dq){
p.x+=q.x;p.y+=q.y;p.z+=q.z;
returnp;
}

//向量和标量相乘p=c*p
POINT_3DpointTi