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贝塞尔函数及其应用

题目：

贝塞尔函数及其应用摘要贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分

离变量法求解拉普拉斯方程时得到的，因此它在波动问题以及各种涉

及有势场的问题的研究中占有非常重要的地位。贝塞尔函数是贝塞尔

方程的解。它在物理和工程中，有着十分广泛的应用。

本文首先通过一个物理问题引入贝塞尔方程，并求出贝塞尔方程的解，

即贝塞尔函数。其次列出了贝塞尔函数的几个重要的结论，如递推公

式，零点性质等，并对他们进行了深入的分析。第二部分主要介绍了

傅里叶-贝塞尔级数，通过matlab编程对函数按傅里叶-贝塞尔级数

展开之后的图像进行分析，得到了它们的逼近情况。最后一部分介绍

了贝塞尔函数的几个重要应用，一个是在物理光学中的应用，着重分

析了贝塞尔函数近似公式的误差；

一个是在信号处理中调频制的应用，得到了特殊情况下的公式算法。

关键词：贝塞尔函数，傅里叶-贝塞尔级数，渐近公式目录一、起源

1（一）

贝塞尔函数的提出1（二）

贝塞尔方程的引出1二、贝塞尔函数的基本概念4（一）

贝塞尔函数的定义41.第一类贝塞尔函数52.第二类贝塞尔函数73.

第三类贝塞尔函数104.虚宗量的贝塞尔函数10（二）

贝塞尔函数的递推公式11（三）

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半奇数阶贝塞尔函数13（四）

贝塞尔函数的零点14（五）

贝塞尔函数的振荡特性16三、Fourier-Bessel级数16（一）

傅里叶-贝塞尔级数的定义16（二）

将函数按傅里叶-贝塞尔级数展开17四、贝塞尔函数的应用24（一）

贝塞尔函数在光学中的应用24（二）

贝塞尔函数在调频制中的应用26附录30一、起源（一）

贝塞尔函数的提出随着科学技术的发展，数学的应用更为广泛。在许

多科技领域中，微积分及常微分方程已经不能够满足我们的需要，数

学物理方程理论已经成为必须掌握的数学工具。它们反映了未知函数

关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系，同时刻画了

物理现象和过程的基本规律。它的重要性，早在18世纪初就被人们

认识。在1715年，泰勒将弦线的横向振动问题归结为著名的弦振动

方程。以后，伯努利从弦发出声音的事实，得出该方程的三角级数解。

在此基础上，傅里叶在理论上完成了解此方程的方法。同时欧拉和拉

格朗日在研究流体力学、拉普拉斯在研究势函数、傅里叶在研究热传

导等物理问题中，导出了一系列重要的数学物理方程及其求解方法，

取得了重要的成就。而这其中，18世纪中叶由瑞士数学家丹尼尔·伯

努利在研究悬链振动时提出的贝塞尔函数的几个正数阶特例引起了

数学界得兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利，欧拉、拉格朗日等数

学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家

贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统

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地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种

函数。

贝塞尔函数是一类特殊函数的总称，贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐

标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在

圆柱域问题中得到的是整阶形式；

在球形域问题中得到的是半奇数阶形式，因此贝塞尔函数在波动问题

以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，其中最典型的问

题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；

圆柱体中的热传导问题；

圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题等。

（二）

贝塞尔方程的引出有圆形薄盘，上下两面绝热，圆盘边界上的温度始

终保持为0，且初始温度分布已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。

设圆形薄盘的半径为R，这个问题可以归结为求解下列问题：

应用分离变量法求这个问题的解，为此令为第一个方程的非零解，代

入该方程得化简并引入参数得由此我们得到下面关于函数T（t）和

V(x,y)的方程,(1-1),(1-2)由式(1-1)得方程(1-2)称为Helmholtz

方程，为了求出这个方程满足边界条件的非零解，我们采用平面上的

极坐标系，则该定解问题转化为(1-3).(1-4)再令，代入方程(1-3)

得,引入参数,于是有,(1-5).(1-6)由于温度函数是单值的，所以也必

是单值函数，而与在极坐标系表示同一点，因此应该是以2为周期的

函数，即，这就决定了，由此该方程(1-5)的解为，(为常数)，，将代

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入方程(1-6),得,这个方程称为n阶贝塞尔方程。由式(1-4)得.由于

圆盘上的温度是有限的，特别在圆心处也应如此，于是，因此原定解

问题的最后解决归结为求解下列问题：

的特征值与特征函数。

若令,并记，则得.(1-7)上式是贝塞尔方程最常见的形式，它是一个

具有变系数的二阶线性常微分方程，它的解称为贝塞尔函数。

二、贝塞