22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质.docx

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
学习目标
1.掌握把y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,经历画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一般过程,进一步体会转化的数学思想.
2.通过图象了解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质,体会数形结合的思想.
学习过程
一、设计问题,创设情境
问题1:你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

问题2:函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?

问题3:不画图象,你能直接说出二次函数y=12x2-6x+21图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性吗?

二、信息交流,揭示规律
问题1:能否将y=12x2-6x+21化为y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式?并解决一中的问题3.

问题2:将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式.

问题3:由此你可以得到什么?

三、运用规律,解决问题
问题:用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质.

四、变式训练,深化提高
1.抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是.
2.抛物线y=2x2+8x的开口向,对称轴是.
3.抛物线y=-2x2-4x+8的开口向,顶点坐标是.
4.两人合作,其中一人说出一个二次函数,另一人说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标.

五、反思小结,观点提炼
本节课你有什么收获?有什么疑问?

布置作业
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标:
(1)y=3x2+2x
(2)y=-x2-2x
(3)y=-2x2+8x-8
(4)y=12x2-4x+3
参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:函数y=-4(x-2)2+1图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).
问题2:函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的.
问题3:开口方向:向上.(对称轴、顶点坐标、增减性和最值师生共同探究.)
二、信息交流,揭示规律
问题1:y=12x2-6x+21=12(x-6)2+3.
开口方向:向上;对称轴:直线x=6;顶点坐标:(6,3).
在对称轴的左侧,抛物线从左向右下降;在对称轴的右侧,抛物线从左向右上升.也就是说,当x<6时,y随x的增大而减小;当x>6时,y随x的增大而增大;当x=6时,函数取最小值3.
问题2:y=ax2+bx+c=ax2+bax+ca=ax2+bax+b2a2-b2a2+ca=ax+b2a2+4ac-b24a2=ax+b2a2+4ac-b24a.
问题3:抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-b2a,顶点坐标是-b2a,4ac-b24a.当x=-b2a时,函数取最值4ac-b24a.
如果a>0,当x<-b2a时,y随x的增大而减小;当x>-b2a时,y随x的增大而增大.
如果a<0,当x<-b2a时,y随x的增大而增大;当x>-b2a时,y随x的增大而减小;
三、运用规律,解决问题
y=-2x2-4x+1=-2(x2+2x-12=-2x2+2x+1-1-12=-2(x+1)2+3,平移y=-2x2的图象能得到二次函数y=-2x2-4x+1的图象.如果直接画二次函数的图象,由图象的对称性列表时,自变量取顶点横坐标-1及其左右的值,然后描点画图.由图象可以看出,在对称轴的左侧,抛物线从左到右上升;在对称轴的右侧,抛物线从左到右下降.由此得出:当x<-1时,y随x的增大而增大;当x>-1时,y随x的增大而减小.
四、变式训练,深化提高
1.(1,1)2.上x=-23.向下(-1,10)4.略
五、反思小结,观点提炼
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可转化为y=ax+b2a2+4ac-b24a,所以y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为-b2a,4ac-b24a,对称轴是x=-b2a,a的正负决定抛物线的开口方向.
2.一般的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是最低(高)点,所以当x=-b2a时,二次函数y=ax2+bx+c取最小(大)值4ac-b24a.
布置作业
(1)开口向上,对称轴是x=-13,顶点坐标是-13,-13;
(2)开口向下,对称轴是x=-1,顶点坐标是(-1,1);
(3)开口向下,对称轴是x=2,顶点坐标是(2,0);
(4)开口向上,对称轴是x=4,顶点坐标是(4,-5).